8a. Квантовая механика I - Ричард Фейнман

Отношение a2/a3 — это, конечно, на сей раз C2/C3Вставляя аналогичные величины из (10.33), получаем

или

где вместо Е надо взять подходящую энергию (либо ЕIII, либо EIV). Например, для состояния |III>имеем

Значит, при больших В у состояния | ///> С2>>С3;состояние почти полностью становится состоянием | 2>=|+ ->. Точно так же если в (10.39) подставить eiv, то получится, что (С2/С3)IV<<1; в сильных полях состояние | IV>обращается попросту в состояние |3>=|- +>. Вы видите, что коэффи­циенты в линейных комбинациях наших базисных состояний, составляющих стационарные состояния, сами зависят от В.

Состояние, которое мы име­нуем |III>, в очень слабых полях представляет собой смесь |+ -> и |- +> в про­порции 1:1, но в сильных полях целиком смещается к |+ ->. Точно так же и со­стояние |IV>, которое в сла­бых полях также является смесью |+ -> и |- +> в пропорции 1:1 (с обратным зна­ком), переходит в состояние | - + ), когда спины из-за силь­ного внешнего поля больше друг с другом не связаны.

Хотелось бы обратить ваше внимание, в частности, на то, что происходит в очень слабых магнитных полях. Имеется одна энергия (-3А), которая не изменяется при включении слабого магнитного поля. И имеется другая энергия (+А), которая при включении слабого магнитного поля расщепляется на три различных уровня энергии. В слабых полях энергии с ростом В меняются так, как показано на фиг. 10.5. Допустим, что у нас есть каким-то образом отобранное множество атомов водорода, у которых у всех энергия равна -3А. Если пропу­стить их через прибор Штерна — Герлаха (с не очень сильными полями), то мы найдем, что они просто проходят целиком на­сквозь. (Поскольку их энергия не зависит от В, то, согласно принципу виртуальной работы, градиент магнитного поля не создает никакой силы, которая бы ощущалась ими.) Пусть, с другой стороны, мы бы отобрали группку атомов с энергией +А и пропустили их через прибор Штерна — Герлаха, скажем через прибор S. (Опять поля в приборе не должны быть столь сильными, чтобы разрушить внутренность атома; подразуме­вается, что поля малы настолько, что энергии можно считать линейно зависящими от В.) Мы бы получили три пучка. На состояния |I> и |II> действуют противоположные силы, их энергии меняются по В линейно с наклоном ±m, так что силы сходны с силами, действующими на диполь, у которого mz=±m, а состояние |III> проходит насквозь. Мы опять возвращаемся к гл. 3. Атом водорода с энергией +А — это частица со спином 1. Это энергетическое состояние является «частицей», для которой j=1, и может быть описано (по отношению к некоторой системе осей в пространстве) в терминах базисных состояний |+S>, | 0S> и |-S>, которыми мы пользовались в гл. 3. С другой стороны, когда атом водорода имеет энергию -3А, он является частицей со спином нуль. (Напоминаем, что все сказанное, строго говоря, справедливо лишь для бесконечно малых магнит­ных полей.) Итак, состояния водорода в нулевом магнитном поле можно сгруппировать следующим образом:

В гл. 35 (вып. 7) мы говорили, что у всякой частицы компо­ненты момента количества движения вдоль любой оси могут принимать только определенные значения, всегда отличаю­щиеся на h. Так, z-компонента момента количества движения Jzможет быть равна jh, (j-1)h, (j-2)h,..., (-j)h, где j — спин частицы (который может быть целым или полу­целым). Обыкновенно пишут

Jz=mh, (10.43)

где т стоит вместо любого из чисел j, j-1, j-2, . . .,-j (в свое время мы не сказали об этом). Вы поэтому часто встре­тите в книжках нумерацию четырех основных состояний при помощи так называемых квантовых чисел j и m [часто именуе­мых «квантовым числом полного момента количества движения» (j) и «магнитным квантовым числом» (m)]. Вместо наших сим­волов состояний |I>, |II> и т. д. многие часто пишут состоя­ния в виде |j, m>. Нашу табличку состояний для нулевого поля в (10.41) и (10.42) они бы изобразили в виде табл. 10.3. Здесь нет какой-либо новой физики, это просто вопрос обозначении.

Таблица 10.3 · СОСТОЯНИЯ АТОМА ВОДОРОДА В НУЛЕВОМ ПОЛЕ

§ 6. Проекционная матрица для спина 1

Теперь мы хотели бы применить наши знания об атоме водо­рода к одной специальной задаче. В гл. 3 мы говорили о том, что частица со спином 1, находящаяся в одном из базисных со­стояний (+, 0, -) по отношению к прибору Штерна — Герлаха с какой-то частной ориентацией (скажем, по отношению к при­бору S), будет иметь определенную амплитуду пребывания в одном из трех состояний по отношению к прибору Т, ориенти­рованному в пространстве по-другому. Имеются девять таких амплитуд <jT|iS>, которые вместе образуют проекционную матрицу. В гл. 3, § 7, мы без доказательства выписали элементы этой матрицы для различных ориентации Т по отношению к S. Теперь мы хотим показать вам один из способов их вывода.

В атоме водорода мы с вами отыскали систему со спином 1, составленную из двух частиц со спином 1/2. В гл. 4 мы уже научились преобразовывать амплитуды для спина 1/2. Эти зна­ния можно применить к тому, чтобы получить преобразование для спина 1. Вот как это делается: имеется система (атом водо­рода с энергией +А) со спином 1. Пусть мы пропустили ее сквозь фильтр S Штерна — Герлаха так, что знаем теперь, что она находится в одном из базисных состояний по отношению к S, скажем в |+S). Какова амплитуда того, что она окажется в одном из базисных состояний, скажем |+T), по отношению к прибору Т? Если вы назовете систему координат прибора S системой х, у, z, то состояние |+S> — это то, что недавно назы­валось состоянием |+ +>. Но представьте, что какой-то ваш приятель провел свою ось z вдоль оси Т. Он свои состояния будет относить к некоторой системе х', у', z'. Его состояния «вверх» и «вниз» для электрона и протона отличались бы от ваших. Его состояние «плюс — плюс», которое можно записать | +'+'>, отмечая «штрихованность» системы, есть состояние |+Т> частицы со спином 1. А вас интересует <+T|+S>, что есть просто иной способ записи амплитуды <+'+' | + + >.

Амплитуду <+ '+' | + +> можно найти следующим обра­зом. В вашей системе спин электрона из состояния | + +> направлен вверх. Это означает, что у него есть некоторая ампли­туда <+'|+>e оказаться в системе вашего приятеля спином вверх и некоторая амплитуда <-' |+>е оказаться в этой системе спином вниз. Равным образом, протон в состоянии + + У имеет спин вверх в вашей системе и амплитуды <+'|+>р и <-'|+>p оказаться спином вверх или вниз в «штрихованной» системе. Поскольку мы говорим о двух раз­ных частицах, то амплитуда того, что обе частицы вместе в его системе окажутся спинами вверх, равна произведению амплитуд

Мы поставили значки е и р под амплитудами <+'|+>, чтоб было ясно, что мы делаем. Но обе они — это просто ампли­туды преобразований для частицы со спином 1/2, так что на самом деле — это одни и те же числа. Фактически — это те же амплитуды, которые мы в гл. 4 называли <+Т|+S> > и которые мы привели в табл. 4.1 и 4.2.

Но теперь, однако, нам угрожает путаница в обозначениях. Надо уметь различать амплитуду <+T|+S) для частицы со спином 1/2 от того, что мы также назвали <+T|+S>, но для спина 1—между ними нет ничего общего! Надеюсь, вас не очень собьет с толку, если мы на время введем иные обозначения амплитуд для спина 1/2, Они приведены в табл. 10.4. Для состоя­ний частиц спина 1 мы по-прежнему будем прибегать к обозна­чениям | +S, | 0S> и |-S>.