Алиса в стране смекалки - Рэймонд Смаллиан

33. Сколько человек заблудилось в горах? Назовем одной порцией количество припасов, которое один человек съедает за день. У 9 человек первоначально было 45 порций (запас провизии на 5 дней). На второй день у них осталось только 36 порций. На второй же день они повстречали вторую группу, и 36 оставшихся порций хватило всем на 3 дня.

Следовательно, всего должно было быть 12 человек. Значит, во второй группе было 3 человека. 34. Сколько пролито воды? На пятый день, когда вода была пролита, ее оставалось на 8 дней. Пролитой воды хватило бы погибшему на 8 дней.

Следовательно, пролито было 8 кварт воды.

35. Скоро ли на свободу? Когда тюремный надзиратель станет вдвое старше узника, разность их возрастов будет равна возрасту узника. Но разность возрастов не зависит от времени и по истечении срока заключения будет такой же, как сейчас, то есть равной 29 годам. Следовательно, в день выхода на свободу узнику исполнится 29 лет, а тюремному надзирателю, который вдвое старше, 58 лет.

Таким образом, узнику осталось провести в темнице еще 4 года.

36. Долго ли выбраться из колодца? Те, кто думают, что лягушка выберется из колодца за 30 дней, ошибаются: лягушка могла бы выбраться из колодца к вечеру на 28-й день.

Действительно, утром на 2-й день лягушка находится на высоте 1 фут над дном колодца, утром на 3-й день - на высоте 2 фута и т. д. Наконец, утром на 28-й день лягушка находится на высоте 27 футов над дном колодца. К вечеру того же дня она достигнет верха и вылезет из колодца, после чего ей уже не придется соскальзывать вниз.

37. Успеет ли велосипедист на поезд? Велосипедист рассуждал неверно: он усреднял расстояния, а не время. Если бы со скоростью 4 мили в час, 8 миль в час и 12 миль в час он двигался одно и то же время, то его средняя скорость действительно составила бы 8 миль в час, но большую часть времени он затратил на подъем в гору (со скоростью 4 мили в час), а меньшую - на спуск под гору (со скоростью 12 миль в час).

Нетрудно подсчитать, сколько времени он пробыл в пути.

Подъем в гору занял у него 1 ч, полчаса (или 30 мин) он затратил на передвижение по ровному участку дороги и треть часа (или 20 мин) на спуск под гору. Всего в пути он пробыл 1 ч 50 мин, опоздав к поезду на 20 мин.

38. Не опоздал ли пассажир на поезд? На первую станцию пассажир прибыл через минуту после того, как ушел поезд.

Десять миль в час - это одна миля за 6 мин или полторы мили за 9 мин. Таким образом, на следующую станцию поезд прибыл через 8 мин после того, как пассажир прибыл на первую станцию. На следующей станции поезд стоял 14 1/2 мин, поэтому у пассажира было в запасе 22 1/2 мин, чтобы успеть сесть на поезд на следующей станции. Четыре мили в час - это 1 миля за 15 мин, или полторы мили за 22 1/2 мин. На следующую станцию пассажир прибудет как раз вовремя, чтобы успеть сесть на поезд.

39. Далеко ли до школы? Разница во времени между опозданием на 5 мин и приходом за 10 мин до начала урока составляет 15 мин. Следовательно, если мальчик будет идти в школу со скоростью 5 миль в час, то он сэкономит 15 мин (по сравнению с тем, сколько он затратил бы на дорогу, если бы шел со скоростью 4 мили в час). Пять миль в час - это одна миля за 12 мин, а 4 мили в час - это 1 миля за 15 мин. Следовательно, идя быстрее, мальчик экономит по 3 мин на каждой миле, а 15 мин - на расстоянии 5 миль.

Значит, школа находится в 5 милях от дома.

Проверка. Идя со скоростью 5 миль в час, мальчик затрачивает на дорогу один час, а идя со скоростью 4 мили в час, - час с четвертью (за час он проходит первые 4 мили, а за четверть часа - последнюю милю), то есть 1 ч 15 мин. Разница по времени действительно составляет 15 мин.

40. Разве не печально? История действительно немного печальная, так как при подсчете барышей и убытков торговец произведениями искусства просчитался: в тот день он не только ничего не заработал, но и потерпел убыток в 20 долларов.

Попробуем разобраться, почему так получилось. Первую картину он продал с 10%-ной прибылью. От продажи ее он выручил 990 долларов. За сколько он купил ее? Так как прибыль составляет 10% не от 990 долларов, а от первоначальной стоимости картины, то 990 долларов - это 110% от первоначальной стоимости картины, или 11/10).

Следовательно, за картину торговец заплатил 10/11 от 990, то есть 990 долларов.

[Проверка. За картину торговец заплатил 900 долларов, 10% от 900 составляют 90 долларов, поэтому от продажи картины он выручил 990 долларов, получив при этом прибыль 90 долларов.] А как обстоит дело со второй картиной? От продажи ее торговец потерял 10% от ее первоначальной стоимости, поэтому вторую картину он продал за 90%, или 9/10, от ее первоначальной стоимости. Следовательно, при покупке второй картины торговец заплатил за нее 10/9 от 990 долларов, то есть 1100 долларов.

[Проверка. За вторую картину торговец заплатил 1100 долларов, 10% от 1100 составляют 110 долларов, поэтому он продал ее за 1100-110=990 долларов.] Таким образом, от продажи второй картины он потерпел убыток в 110 долларов, а от продажи первой картины получил прибыль всего 90 долларов. Следовательно, в тот день он потерял всего 20 долларов.

41. Кто старше? Прежде всего вычислим, через сколько дней часы Болванщика и Мартовского Зайца покажут одно и то же время. Так как часы Мартовского Зайца отстают с такой же скоростью, с какой спешат часы Болванщика, то в следующий раз они покажут одно и то же время, когда часы Болванщика уйдут вперед на 6 ч, а часы Мартовского Зайца отстанут на 6 ч. (На тех и других часах будет 6 ч, причем и те и другие часы будут показывать неверное время.) За сколько дней часы Болванщика уйдут вперед на 6 ч. За час они уходят вперед на 10 с, за 6 ч - на 1 мин, за сутки - на 4 мин, за 15 суток - на 1 ч, за 90 суток (дней на календаре) на 6 ч. Таким образом, через 90 дней на часах Болванщика и Мартовского Зайца стрелки снова будут показывать одно и то же время.

Нам неизвестно, в какой из дней января Болванщик и Мартовский Заяц поставили на своих часах точное время.

Но если бы это произошло в любой из дней, кроме 1 января, то день, когда часы Болванщика и Мартовского Зайца в следующей раз покажут одно и то же время (а это событие, как мы установили, произойдет через 90 дней), пришелся бы не на март, а на апрель (или даже на май). Следовательно, Болванщик и Мартовский Заяц могли сверить свои часы только 1 января. Но даже в этом случае их часы покажут в следующий раз одно и то же время в марте только при условии, если год високосный! (В этом читатель без труда убедится с помощью календаря: через 90 дней после 1 января в обычный год наступает 1 апреля, а в високосный год - 31 марта!) Тем самым доказано, что 21 день рождения Мартовского Зайца приходится на високосный год. Следовательно, Мартовский Заяц мог родиться в 1843, а не в 1842 году или 1844 году.

(Через 21 год после 1843 года наступает високосный 1864 год.) По условиям задачи только один из двух (либо Мартовский Заяц, либо Болванщик) родился в 1842 году.

Следовательно, в 1842 году родился Болванщик. Значит, Болванщик старше Мартовского Зайца.

Глава 5

42. Появление первого шпиона. C заведомо не может быть рыцарем, так как ни один рыцарь не стал бы лгать и утверждать, будто он шпион. Следовательно, C либо лжец, либо шпион. Предположим, что C шпион. Тогда показание A ложно, значит, A шпион (A не может быть шпионом, так как шпион C) и рыцарем может быть только B. Но если B рыцарь, то как он мог дать ложные показания, утверждая, будто A рыцарь? Следовательно, предположение о том, что C шпион, приводит к противоречию. Значит, C лжец. Тогда показание B ложно, поэтому B либо лжец, либо шпион. Но так как лжец B, то шпионом должен быть A. Следовательно, A может быть только рыцарем. Итак, A рыцарь, B шпион и C лжец. 43.

Глупый шпион. Ложное заявление, изобличающее шпиона, могло быть, например, таким: "Я лжец".

Рыцарь никогда не лжет и поэтому не станет утверждать о себе, будто он лжец. С другой стороны, лжец никогда не говорит правды и не станет признаваться, что он лжец.

Только шпион может сделать ложное признание, будто он лжец.

44. Еще один глупый шпион. Истинное заявление, изобличающее шпиона, могло быть, например, таким: "Я не рыцарь".

Действительно, ни рыцарь, ни лжец не могли бы сказать о себе такое. Рыцарь никогда не лжет и не станет утверждать, будто он не рыцарь. Лжец всегда лжет и не станет признаваться, что он не рыцарь. Значит, такое заявление мог бы сделать только шпион.

45. Хитрый шпион. Если бы A ответил на вопрос судьи "да", то тем самым он изобличил себя как шпиона, так как судья (вместе с присяжными) мог бы рассуждать следующим образом:

"Предположим, что B шпион. Тогда все трое обвиняемых дали бы правдивые показания, что невозможно, так как один из них лжец. Следовательно, B не может быть шпионом. Значит, его показание ложно, поэтому B лжец. Показание C также ложно, а поскольку C не лжец (ибо лжец B), то он шпион".

Таким образом, если бы на вопрос судьи C ответил "да", то он был бы изобличен как шпион. Зная это, C благоразумно ответил "нет", лишив тем самым суд возможности установить, шпион он или коренной житель. (Суду удалось лишь установить, что либо C рыцарь, а B шпион, либо C лжец, а A шпион, либо C шпион.)