Алиса в стране смекалки - Рэймонд Смаллиан

46. Кто Мердок? Так как A утверждает, что он шпион, то A либо лжец, либо шпион. Аналогичным образом, так как C утверждает, что он шпион, C либо лжец, либо шпион.

Следовательно, из двух подсудимых A и C один лжец, а другой шпион. Значит, B рыцарь и дал на суде правдивые показания:

A шпион.

47. Возвращение Мердока. Если A Мердок, то все три показания истинны, что невозможно, так как один из троих подсудимых лжец. Если C Мердок, то все три показания ложны, что также невозможно, так как один из троих подсудимых рыцарь. Следовательно, Мердоком должен быть B.

48. Более интересный случай. Задачу невозможно было бы решить, если бы в условиях не было ссылки на то, что суд изобличил шпиона, после того как на него указал C: ведь мы знаем, что суд смог установить, кто из троих шпион, и это весьма важная "зацепка"!

Предположим, что C обвинил A в том, что тот шпион.

Располагая этими данными, судья не мог бы решить, кто шпион, поскольку они позволяют лишь утверждать, что либо A шпион, B лжец и C рыцарь либо B шпион, A рыцарь и C лжец, либо C шпион, A лжец и B рыцарь.

Таким образом, если C указал на A как на шпиона, то судья не мог бы изобличить настоящего шпиона.

Посмотрим теперь, что произошло бы, если бы C указал на B.

Тогда B обвиняли бы в том, что он шпион, двое: A и C.

Выдвинутые A и C обвинения либо оба истинны, либо оба ложны. Если бы они были оба истинны, то B действительно был бы шпионом, а так как A и C оба сказали правду, они оба должны были бы быть рыцарями ("вакансия" шпиона занята B). Но по условиям задачи среди подсудимых A, B и C не может быть двух рыцарей. Следовательно, предъявленные B обвинения в шпионаже ложны. Значит, B не шпион. Мог бы A быть шпионом? Нет, так как если бы A был шпионом, то взаимные обвинения B и C в шпионаже были бы ложны.

Следовательно, B и C были бы (оба) лжецами (что противоречит условиям задачи.) Остается единственно возможный случай: шпион C (B, обвинивший C в шпионаже, рыцарь, а A, обвинивший B, лжец).

Итак, если C указал на A как на шпиона, то судья не смог бы установить, кто из троих в действительности шпион. Но если C указал на B, то судья смог бы решить что шпион C. А так как судья знал, на кого показал A, то C должен был указать на B, и судья на основании полученных данных изобличил C в шпионаже.

49. Еще более интересный случай. Мы не знаем, что ответили A и B, поэтому нам необходимо рассмотреть четыре возможных случая: 1) A и B оба сказали "да":

2) A сказал "нет", B сказал "да"; 3) A сказал "да", B сказал "нет"; 4) A и B оба сказали "нет".

Все эти четыре случая встретятся нам и в следующих двух задачах, поэтому мы тщательно проанализируем их сейчас.

Случай 1: A и B оба сказали "да". Так как A утверждает, что он шпион, то A либо лжец, либо шпион (рыцарь не станет называть себя шпионом). Если A лжец, то он солгал и в том случае, когда утверждал., что занимается шпионажем. Следовательно, B солгал, утверждая, что A сказал правду. Значит, B не рыцарь, а поскольку A лжец, то B шпион, и, наконец, C должен быть рыцарем. Таким образом, если A лжец, то B шпион, а C рыцарь.

Предположим теперь, что A шпион. Тогда он сказал правду, поэтому B, утверждая, что A сказал правду, не погрешил против истины. Следовательно, B должен быть рыцарем. Но тогда C может быть только рыцарем. Таким образом, если A лжец, то B шпион, а C рыцарь. Запишем оба возможных варианта (1а и 1б)

случая 1 в следующем виде:

A B C 1а Рыцарь Шпион Рыцарь 1б Шпион Рыцарь Лжец

Случай 2: A сказал "нет", B сказал "да". Так как A отрицает, что он шпион, то A либо рыцарь, либо шпион (лжец солгал бы и сказал бы о себе, что он шпион). Если A рыцарь, то он сказал правду. Значит, B также сказал правду, когда заявил, что A сказал правду, поэтому B не может быть лжецом.

Следовательно, B должен быть шпионом. Но тогда C может быть только лжецом.

Если A шпион, то он солгал. Следовательно, B также солгал, когда утверждал, что A сказал правду. Значит, B лжец, и тогда C может быть только рыцарем. Оба возможных варианта случая 2 (2а и 2б) запишем в следующем виде:

A B C 2а Рыцарь Шпион Лжец 2б Шпион Лжец Рыцарь

Случай 3: A сказал "да", B сказал "нет". Так как A утверждает о себе, что он шпион, то (как и в случае 1) A должен быть лжецом или шпионом. Если A лжец, то он солгал, но тогда B сказал правду. Значит, либо B рыцарь (и C шпион), либо B шпион (и C рыцарь). Если A шпион, то он сказал правду, но тогда B солгал. Значит, B лжец и C рыцарь. Таким образом, в случае 3 возможны три варианта:

A B C 3а Лжец Рыцарь Шпион 3б Лжец Шпион Рыцарь 3в Шпион Лжец Рыцарь

Случай 4: A и B оба сказали "нет". Так как A отрицает, что он шпион, то (как в случае 2) A либо рыцарь, либо шпион. Предположим, что A рыцарь. Тогда A сказал правду, а B солгал. Следовательно, B лжец (а C шпион) или B шпион (а C лжец). Предположим, что A шпион. Тогда он сказал правду. Значит, B также сказал правду, поэтому B рыцарь (а C лжец). Таким образом, в случае 4 возможны три варианта (как и в случае 3):

A B C 4а Рыцарь Лжец Шпион 4б Рыцарь Шпион Лжец 4в Шпион Рыцарь Лжец

Для удобства сведем все четыре случая в одну таблицу.

Случай 1: A и B оба сказали "да"

A B C 1а Лжец Шпион Рыцарь 1б Шпион Рыцарь Лжец

Случай 2: A сказал "нет", B сказал "да"

A B C 2а Рыцарь Шпион Лжец 2б Шпион Лжец Рыцарь

Случай 3: A сказал "да", B сказал "нет"

A B C 3а Лжец Рыцарь Шпион 3б Лжец Шпион Рыцарь 3в Шпион Лжец Рыцарь

Случай 4: A и B оба сказали "нет"

A B C 4а Рыцарь Лжец Шпион 4б Рыцарь Шпион Лжец 4в Шпион Рыцарь Лжец

Обратимся снова к условиям задачи. После того как A и B ответили на вопросы судьи, тот сумел установить, что C не шпион. В случае 3 судья не мог бы установить, шпион ли C или рыцарь. В случае 4 судья не смог бы установить, шпион ли C или лжец. Но судья со всей определенностью заявил, что C не шпион. Значит, случаи 3 и 4 отпадают и остается либо случай 1, либо случай 2.

Когда судья утверждает, что C не шпион, ему известно, что A сказал правду. Тем самым судье известно, что A либо рыцарь, либо шпион. В случае 2 судья не смог бы определить, рыцарь ли A или шпион, и установить, кто шпион. Таким образом, остается только случай 1: судья знал, что A не мог быть лжецом (так как A сказал правду). Следовательно, A должен был быть шпионом.

50. Такой же интересный случай. Поскольку судья задал подсудимым A и B одинаковые вопросы, как и в предыдущей задаче, мы можем воспользоваться уже знакомой нам таблицей.

Рассмотрим тот момент судебного заседания, когда судья спросил подсудимого C, шпион ли тот. В этот момент судья не мог утверждать ни об одном из трех подсудимых, что тот заведомо не шпион, поскольку в противном случае судье пришлось бы освободить невиновного из-под стражи. Тем самым случаи 1 и 2 отпадают, так как в каждом из них судья бы знал, что C либо рыцарь, либо лжец, и освободил бы C.

Следовательно, нам остается рассмотреть случаи 3 и 4.

Как мог рассуждать судья, выслушав ответ подсудимого C? В случае 3 судье известно, что C либо шпион, либо рыцарь.

Если бы C на вопрос судьи ответил "нет", то судья не узнал бы ничего нового и не мог бы никого изобличить. Но если бы C ответил "да", то судья мог бы с уверенностью утверждать, что C шпион, так как рыцарь не мог бы сказать о себе, будто он шпион. Таким образом, в случае 3 как шпион был изобличен C.

В случае 4 судье известно, что C либо шпион, либо лжец.

Если бы C ответил "да", то судья не мог бы утверждать, что C шпион (так ответить мог бы и лжец, и шпион). Но если бы C ответил "нет", то судья установил бы, что C шпион, поскольку лжец не способен сказать правду и признаться, что он не шпион. Таким образом, в случае 4 C был бы также изобличен как шпион.

Интересно отметить, что ни вы, дорогой читатель, ни я не можем сказать, какой из двух случаев (3 или 4) имеет место в действительности, как не можем узнать, что ответил ("да" или "нет") C судье. Нам известно лишь, что судья смог определить, кто из обвиняемых шпион, поэтому либо все происходило, как в случае 3, и C ответил "да", либо все происходило, как в случае 4, и C ответил "нет". И в том и в другом случае C был изобличен как шпион, поэтому мы можем с уверенностью сказать, что C шпион.

51. Самый интересный случай из всех. Воспользуемся той же таблицей, которой мы пользовались при решении двух предыдущих задач.

1-й шаг. После того как B ответил на вопрос судьи, тот освободил одного из обвиняемых из-под стражи. В случаях 3 или 4 шпионом мог бы быть любой из трех подсудимых, и судья не мог бы снять обвинение ни с одного из них.

Следовательно, в действительности нам необходимо обратиться к случаям 1 и 2. В этих двух случаях C не может быть шпионом, а каждый из двух остальных обвиняемых может, поэтому судья отпустил на свободу C. Таким образом, нам известно, что C был освобожден из-под стражи и что имеет место либо случай 1, либо случай 2, а о случаях 3 и 4 мы можем теперь полностью забыть.

После того как C покинул зал суда, судья спросил, обращаясь либо к A, либо к B (к кому именно, мы не знаем), не шпион ли его сосед по скамье подсудимых, и получил ответ "да"

или "нет" (но какой именно, мы также не знаем). В случае 1 существуют 4 возможных варианта, в случае 2 - еще 4 варианта, что составляет вместе 8 вариантов. Половину из них можно исключить на основании того, что судья, получив ответ, смог решить, кто из двух (A или B) шпион.