ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда - Хофштадтер Даглас Р.

ГЛАВА IV: Непротиворечивость, полнота и геометрия

Смысл явный и неявный

В главе II мы видели пример того, как смысл — по крайней мере, в относительно простом контексте формальных систем — рождается из изоморфизма между управляемыми правилами символами и вещами реального мира. В большинстве случаев, чем сложнее изоморфизм, тем больше «техники» — как аппаратуры, так и программного обеспечения — бывает необходимо, чтобы извлечь смысл из символов. Если изоморфизм очень прост (или хорошо нам знаком), то есть соблазн считать, что смысл, который мы замечаем, выражен явно. Мы видим смысл, не замечая изоморфизма. Один из самых ярких тому примеров — человеческий язык. Люди часто приписывают значения самим словам, абсолютно не осознавая существования сложного «изоморфизма», эти значения порождающего. Эту ошибку совершить нетрудно; она состоит в том, что значение приписывается скорее объекту (слову), чем связи между данным объектом и реальностью. Вы можете сравнить это с наивным представлением о том, что шум является необходимым побочным эффектом столкновения двух предметов. Это, разумеется, неверно если два предмета столкнутся в вакууме, столкновение будет совершенно бесшумным. Здесь ошибка также заключается в том, что шум приписывается исключительно столкновению, и при этом игнорируется роль среды, переносящей звук от столкнувшихся предметов к уху.

Выше я использовал слово «изоморфизм» в кавычках, чтобы показать, что его здесь надо понимать с долей скептицизма. Символические процессы, лежащие в основе человеческого языка, настолько неизмеримо сложнее символических процессов в формальных системах, что, если мы хотим по-прежнему считать, что значение — порождение изоморфизмов, то нам придется принять более гибкое определение изоморфизма, чем то, каким мы пользовались до сих пор. Мне кажется, что именно понимание природы изоморфизма, стоящего за значением, — ключ к загадке человеческого сознания.

Явный смысл «Акростиконтрапунктуса»

Все это было подготовкой к обсуждению «Акростиконтрапунктуса» — исследованию уровней его значения. В Диалоге есть как явный, так и неявный смысл. Самое явное значение — та история, которая в нем рассказана. Это «явное» значение, строго говоря, крайне неявно — ведь мозгу приходится проделать невероятно сложную работу, чтобы, основываясь на черных значках на бумаге, понять происходящие в этой истории события. Несмотря на это, мы будем считать эти события явным значением Диалога, предполагая, что любой русскоязычный читатель, извлекая смысл из значков на бумаге, использует более или менее одинаковый «изоморфизм».

И все же, я хотел бы сделать явное значение истории еще более явным. Сначала немного о пластинках и патефонах. Обратите внимание на то, что дорожки на пластинке имеют два уровня значения. Первый уровень — музыка. Но что же такое музыка — последовательность колебаний в воздухе или последовательность эмоциональных реакций в человеческом мозгу? И то и другое, скажете вы. Но для того, чтобы эти эмоции возникли, сначала необходимы колебания. Колебания «извлекаются» из звуковых дорожек при помощи патефона — относительно несложного устройства. На самом деле, вы можете сделать то же самое, ведя по дорожкам булавкой. После этого ухо превращает колебания в реакции слуховых нейронов мозга, которые, в свою очередь, трансформируют линейную последовательность вибраций в схему взаимодействующих эмоциональных откликов. Схема эта настолько сложна, что мне придется, вопреки желанию, воздержаться от ее обсуждения здесь. Так что давайте пока считать, что звуки в воздухе — это «Первый Уровень» значения звуковых дорожек. Что же является «Вторым Уровнем» их значения? Это та вибрация, которая возникает в патефоне. Поэтому Второй Уровень значения зависит от цепи двух изоморфизмов:

(1) изоморфизм между произвольным узором звуковых дорожек и колебаниями воздуха;

(2) изоморфизм между произвольными колебаниями воздуха и вибрацией патефона.

Эта цепь двух изоморфизмов изображена на рис. 20. Обратите внимание, что изоморфизм 1 порождает Первый Уровень значения. Второй Уровень значения — менее явный, чем Первый, поскольку он порожден двумя изоморфизмами. Именно Второй Уровень значения является виновником того, что патефон разбивается. Интересно то, что рождение Первого Уровня значения немедленно влечет за собой рождение Второго Уровня значения — один уровень невозможен без другого. Таким образом, именно неявное значение пластинки «атаковало» и разрушило патефон. Те же комментарии приложимы и к бокалу. Разница лишь в том, что здесь имеется еще один уровень изоморфизма — соответствие между музыкальными нотами и буквами алфавита — который мы будем называть «транскрипцией». За ней следует «перевод»: превращение музыкальных нот в звуки, после чего вибрация действует на бокал точно так же, как она действовала на серию все усложняющихся патефонов.

Рис. 20. Наглядное объяснение принципа, лежащего в основе Теоремы Геделя: два тесно связанных изоморфизма, дающие неожиданный эффект бумеранга. Первый — от звуковых дорожек к звуку, получаемый при помощи патефона. Другой — знакомый всем нам, но обычно оставляемый без внимания — от звука к вибрации патефона. Обратите внимание на то, что второй изоморфизм существует независимо от первого: не только музыка, играемая на патефоне, но и вообще все звуки вблизи от него вызывают в нем вибрацию. Перефразировка Теоремы Геделя звучит так: для любого патефона существуют такие пластинки, которые нельзя на нем проигрывать, так как это косвенно способствует разрушению патефона. (Рисунок автора.)

Неявные значения «Акростиконтрапунктуса»

Что же можно сказать о неявных значениях Диалога? (Множественное число не случайно — в Диалоге их несколько.) О самом простом из них мы уже упомянули выше — события в двух частях Диалога приблизительно изоморфны: патефон становится скрипкой, Черепаха — Ахиллом, Краб — Черепахой, звуковые дорожки — выгравированным автографом, и т. д. После того, как вы заметили этот простой изоморфизм, вы можете продвинуться дальше. Обратите внимание, что в первой половине истории Черепаха — виновник всех проказ, в то время как во второй половине она — жертва. Ее же собственный метод обратился против нее! Не напоминает ли это вам об «атаке» на патефон пластинок, которые на нем проигрывают, или о надписи на бокале, явившейся «виновницей» его гибели, или о Черепахиной коллекции бумерангов? Безусловно. Это — история о «плевках против ветра» на двух уровнях:

Первый уровень: «самоатакующие» бокалы и пластинки;

Второй уровень: «самоатакующий» дьявольский метод Черепахи, использующий для «самоатаки» неявные значения.

Таким образом, мы можем установить изоморфизм между двумя уровнями истории, сравнив то, как пластинки и бокалы, подобно бумерангам, «замыкаются» сами на себя и в результате гибнут, с тем, как предательский метод Черепахи оборачивается против нее самой. Рассматриваемая таким образом, сама история — пример «самоатак», которые в ней обсуждаются. Поэтому мы можем считать, что «Акростиконтрапунктус» косвенно говорит о себе самом, в том смысле, что его структура изоморфна событиям, которые в нем происходят. (Совершенно так же, как пластинки и бокал косвенно «говорят» о себе самих путем соседствующих изоморфизмов между игрой и вызыванием вибрации.) Конечно, можно прочитать Диалог, не замечая этого изоморфизма; тем не менее, он там присутствует.

Соответствие между «Акростиконтрапунктусом» и Теоремой Гёделя

Читатель, возможно, уже чувствует некоторое головокружение — однако это еще только цветочки, а ягодки впереди. (На самом деле, некоторые уровни неявного значения даже не будут здесь затронуты — если пожелаете, можете попробовать докопаться до них сами.) Я написал этот Диалог в основном для того, чтобы проиллюстрировать Теорему Гёделя, которая, как я уже говорил во введении, зависит от двух различных уровней значения высказываний теории чисел. Каждая из двух половин Диалога — «изоморфная копия» Теоремы Гёделя. Поскольку это сложное соответствие — центральная идея диалога, я попытался представить его на следующей диаграмме.