Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Беллос Алекс

Другой участник конференции — Иван Москович. Ему 82, и он поразительно похож на постаревшего Винсента Прайса[45] — в безупречно строгом темном костюме, со сверкающими глазами, торчащими карандашом усами и шевелюрой зачесанных назад седых волос. Москович — тоже изобретатель головоломок. Он показал мне свое самое последнее творение, получившее название «Ты и Эйнштейн». Его мечта — как и каждого, кто увлечен этим занятием, — состоит в том, чтобы придумать головоломку, которая вызовет новую волну массового помешательства. До сих пор имели место всего четыре всемирных волны лихорадки по поводу головоломок с математическим уклоном: танграмы, игра в пятнашки, кубик Рубика и судоку. Сегодня первенство по прибыльности держит кубик Рубика. С момента его изобретения Эрнё Рубиком в 1974 году было продано более 300 миллионов штук! Помимо чисто коммерческого успеха, этот ярко раскрашенный разноцветный куб оказался неувядающим элементом массовой культуры. Он занимает беспрецедентное положение в мире головоломок, и нет ничего удивительного в том, что его популярность ощущалась и на конференции G4G в 2008 году. Доклад о кубике Рубика в четырех измерениях вызвал бурю аплодисментов.

Исходно кубик Рубика представлял собой конструкцию из 26 меньших кубиков, собранных в большой куб размером 3 × 3 × 3. Каждый горизонтальный и вертикальный «срез» может независимо вращаться. После того как все цвета граней перемешаны, задача состоит в том, чтобы вращением «срезов» добиться, чтобы каждая сторона куба состояла целиком из квадратиков одного цвета. Всего имеется шесть цветов, по одному для каждой стороны. По мнению Московича, Эрнё Рубик проявил гениальность дважды. Не только сама идея куба была гениальной, но и способ, которым отдельные элементы соединены друг с другом, — выдающееся инженерное решение. Если разобрать кубик Рубика, то оказывается, что внутри нет никаких специальных механических приспособлений, удерживающих отдельные детали вместе, — каждый из кубиков содержит часть центральной сцепляющей сферы.

Кубик Рубика обладает притягательностью и сам по себе. Это платоново тело, то есть трехмерная фигура, обладающая культовым, мистическим статусом по крайней мере со времен Древней Греции. Другое слагаемое успеха состоит в том, что даже достаточная сложность решения этой головоломки не отпугивает людей. Грэм Паркер, строитель из Хэмпшира, трудился без устали на протяжении 26 лет, пока наконец не реализовал свою мечту. «Я пренебрегал многими важными делами ради того, чтобы не выключаться из процесса и продолжать искать решение. Нередко я даже просыпался среди ночи с мыслями об этом, — рассказывал он о проведенных им примерно 27 400 часах за складыванием кубика Рубика. — Когда я наконец поставил последний кусочек на место и каждая грань оказалась окрашена в свой цвет, я разрыдался. Не могу даже передать вам, какое облегчение я испытал». Те, кто решал задачу за более приемлемый отрезок времени, неизменно желали сделать то же самое еще раз, но быстрее. Установление очередного рекорда по складыванию кубика Рубика превратилось в состязание.

После 2000 года соревнования по складыванию кубика Рубика на скорость стали настоящим бумом, и ныне официальные турниры проводятся по всему миру каждую неделю. Чтобы обеспечить достаточную сложность исходного положения, правилами предписано, что кубики должны быть «перемешаны» в соответствии со случайной последовательностью вращений, которая генерируется компьютерной программой. Текущий рекорд в 7,08 секунды был установлен в 2008 году Эриком Аккерсдайком — 19-летним голландским студентом. Аккерсдайк также удерживает рекорд для кубика 2 × 2 × 2 (0,96 секунды), для кубика 4 × 4 × 4 (40,05 секунды) и для кубика 5 × 5 × 5 (1 минута и 16,21 секунды). Он также может собрать кубик Рубика ногами — показанное им время составляет 51,36 секунды и является четвертым результатом в мире. Однако Аккерсдайк далеко не так силен в соревнованиях по сборке кубика Рубика одной рукой (всего лишь 33-е место в мире) или с завязанными глазами (43-е место). Правила для манипуляции с завязанными глазами таковы: время отсчитывается от того момента, как кубик покажут участнику. Он должен изучить его, а затем уже вращать грани с завязанными глазами. Когда, по его мнению, задача решена, он просит судью остановить секундомер. Текущий рекорд в 48,05 секунды установил в 2008 году Вилле Сеппянен из Финляндии. Другие спортивные дисциплины в скоростном складывании кубика Рубика включают решение этой задачи на американских горках, под водой, палочками для еды, во время езды на велосипеде и в свободном падении.

С математической точки зрения наиболее интересно решение задачи за минимально возможное число ходов. Участникам соревнований дают кубик с официально перемешанными цветами и предоставляют 60 минут, чтобы изучить расположение, после чего требуется найти кратчайшую последовательность, ведущую к цели. В 2009 году Джимми Колл из Бельгии установил мировой рекорд — 22 хода. Заметим, что такое число ходов сумел найти очень проницательный человек, которому дали 60 минут на осмотр перепутанного кубика Рубика. Смог бы он предложить решение, состоящее из меньшего числа ходов для той же самой начальной конфигурации, если бы у него было 60 часов? Вопрос по поводу кубика Рубика, который занимал математиков более всего, таков: каково наименьшее n, такое что каждую конфигурацию можно привести в порядок за n или меньшее число ходов? Заметим попутно, что такое n получило прозвище «числа Бога». Нахождение «числа Бога» необычайно сложно потому, что в дело вовлечены очень большие числа. Имеется около 43 × 1018 (то есть 43 с 18 нулями) конфигураций кубика Рубика.

Если кубики в каждой из возможных конфигураций водрузить друг на друга, то получится башня, высота которой в восемь миллионов раз больше расстояния от Земли до Солнца и обратно. Анализ всех конфигураций одной за другой занял бы слишком много времени. Вместо этого математики стали рассматривать подгруппы конфигураций. Томас Рокицки, занимавшийся исследованием этой задачи около 20 лет, проанализировал набор из 19,5 миллиарда конфигураций и нашел способы решения их за 20 или меньшее число ходов. Затем он изучил около миллиона подобных наборов, каждый из которых содержит 19,5 миллиарда конфигураций, и снова нашел, что для решения достаточно 20 ходов. В 2008 году он доказал, что все оставшиеся конфигурации кубика Рубика приводятся к конфигурациям из этих наборов не более чем за два хода, а это значит, что верхняя граница для «числа Бога» равна 22.

Рокицки убежден, что «число Бога» равно 20. «На данный момент я разобрался примерно с 9 процентами всех конфигураций куба, и ни одно из них не потребовало 21 хода. Если и имеются конфигурации, требующие 21 или более ходов, то они исключительно редки». Проблема, стоящая перед Рокицки, не столько теоретическая, сколько логистическая. Просмотр всех возможных конфигураций куба требует невероятного количества компьютерной памяти и компьютерного времени. «Если использовать имеющиеся на данный момент методы, то понадобится около года работы 1000 современных компьютеров, чтобы доказать, что „число Бога“ равно 20», — говорит он.

Математика, присутствующая в кубике Рубика, долгое время была хобби Рокицки. Когда я спросил его, не думал ли он о том, чтобы исследовать математические аспекты других головоломок, например судоку, он отшутился: «И не пытайтесь отвлечь меня всякими другими заманчивыми проблемами. Математика этого кубика — уже достаточно серьезная задача!»

В один из дней, после обеда, участники конференции перебрались в дом Тома Роджерса, в пригород Атланты. Роджерс — бизнесмен, которому сейчас уже не так мало лет, — организовал первую G4G в 1993 году, а все свое детство был почитателем Гарднера. Исходная идея Роджерса состояла в том, чтобы организовать мероприятие, на котором славившийся своей застенчивостью Гарднер мог бы встречаться со своими поклонниками. Роджерс решил пригласить почитателей трех областей интересов Гарднера — математики, фокусов и головоломок. Конференция имела такой успех, что в 1996 году была организована вторая. Гарднер присутствовал на первых двух, однако впоследствии ухудшившееся здоровье уже не позволяло ему принимать в них участие. Роджерс живет в одноэтажном доме, построенном в японском стиле и окруженном зарослями бамбука, соснами и садом с плодовыми деревьями, которые, когда я туда приехал, утопали в цвету. В саду некоторые гости собирались в команды, чтобы строить геометрические скульптуры из дерева и металла. Другие пытались разгадать головоломки, подсказки к которым были прикреплены к наружным стенам дома.