Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Умонастроение, господствовавшее в XVIII — начале XIX вв., выразил Юзеф Гене-Вронский (1775-1853), искусный вычислитель, нисколько не заботившийся о строгости. Комиссия Парижской академии наук раскритиковала одну из представленных им работ. Отвечая на критику, Гене-Вронский охарактеризовал мнение комиссии как «педантизм, ставящий средства достижения цели превыше самой цели».

Во втором издании (1810-1819) трехтомного «Трактата по дифференциальному и интегральному исчислению» маститого Лакруа в предисловии к первому тому говорилось: «Нам нет дела до тех тонкостей, о которых так заботились греки». Типичным для того времени был недоуменный вопрос: почему мы должны брать на себя труд и доказывать с помощью хитроумных рассуждений то, что ни у кого не вызывает сомнений, и почему более очевидные истины необходимо доказывать ссылками на менее очевидные?

Даже в конце XIX в. Карл Густав Якоб Якоби (1804-1854), в работах которого по теории эллиптических функций осталось множество неразрешенных вопросов, говаривал: «На гауссовскую строгость у нас нет времени, господа». Многие математики действовали так, будто то, что им не удавалось доказать, попросту не нуждалось в доказательстве. Большинство математиков вообще не заботилось о строгости. Нередко то, чему, по их утверждениям, можно было бы придать строгий смысл, если воспользоваться методом Архимеда, не могло быть доказано строго никакими новыми Архимедами. В частности, это относится к работам по дифференциальному исчислению, не имевшему параллелей в греческой математике. Слова Д'Аламбера: «До сих пор больше внимания уделялось расширению здания, чем освещению входа, возведению новых этажей, чем укреплению фундамента» — применимы к математике на протяжении всего XVIII в. и начала XIX в.

К середине XIX в. значение доказательства упало настолько, что некоторые математики не считали необходимым проводить полные доказательства даже в тех случаях, где это было возможно. Один из выдающихся приверженцев использования алгебраических методов в геометрии, создатель так называемой матричной алгебры (гл. IV) Артур Кэли (1821-1895) сформулировал теорему о матрицах, получившую впоследствии название теоремы Кэли — Гамильтона. (Для непосвященных сообщим, что матрицей в математике называют прямоугольную таблицу чисел. Если матрица квадратна, то в каждой ее строке и в каждом столбце стоят по n чисел.) Кэли проверил, что его теорема выполняется для (2×2)-матриц, и заявил (в работе 1858 г.): «Я не считаю необходимым обременять себя формальным доказательством теоремы в общем случае матрицы любого порядка [т.е. (n×n)-матрицы]».

Один из ведущих алгебраистов Англии Джеймс Джозеф Сильвестр (1814-1897) был в 1876-1884 гг. профессором университета Джона Гопкинса в Балтиморе. В одной из своих лекций он сказал: «Я не доказал этого, но уверен, насколько можно быть вообще в чем-либо уверенным, что это действительно так», после чего воспользовался результатом, о котором шла речь, для доказательства новых теорем. Нередко в конце очередной лекции Сильвестру приходилось признавать, что утверждение, в истинности которого он не сомневался на предыдущей лекции, оказалось неверным. В 1893 г. Сильвестр доказал одну теорему для (2×2)-матриц и лишь наметил те несколько пунктов, которые необходимо дополнительно рассмотреть, чтобы доказать теорему и для (n×n)-матриц.

Если учесть, как прекрасно начал строить Евклид дедуктивную систему геометрии и теорию целых чисел, то нелогичность истории математики естественно подводит нас к вопросу: почему математики так много и так безуспешно пытались обосновать иррациональные, отрицательные и комплексные числа, алгебру, дифференциальное и интегральное исчисление, теорию функций вещественного и комплексного переменного, в то время как евклидова геометрия и теория чисел возводилась на столь шатком основании, и почему это никого не смущало? Ответ на этот вопрос частично уже известен (гл. V): поскольку развивавшиеся Евклидом разделы математики затрагивали интуитивно совершенно ясные понятия (как точка или целое положительное число), найти фундаментальные принципы, или аксиомы, из которых надлежало выводить остальные свойства, было сравнительно просто, хотя аксиоматика Евклида вовсе не была лишена недостатков и в ней отсутствовали как понятие неопределяемого объекта, так и полноценные определения начальных понятий. Что же касается иррациональных, отрицательных и комплексных чисел, операций над буквенными символами, понятий дифференциального и интегрального исчисления, то они для понимания гораздо труднее тех понятий, с которыми имели дело древние греки, и поэтому некритическое их использование вызывает большую неудовлетворенность.

Но была и более глубокая причина. Сами того не желая, великие математики вызвали своими трудами едва уловимое изменение в самой природе математики. До XVI в. математические понятия были идеализациями или абстракциями, почерпнутыми непосредственно из опыта. Правда, к тому времени отрицательные и иррациональные числа уже были приняты индийцами и арабами. Но хотя мы отнюдь не склонны недооценивать вклада, внесенного арабами и индийцами в развитие математики, в вопросах обоснования они полагались главным образом на интуицию и «внематематический» опыт. Когда же появились комплексные числа, а также алгебра, широко использующая буквенные коэффициенты, производные и интегралы, главенствующее положение в математике заняли понятия, представляющие собой абстракции более высокого ранга. Так, понятие производной, или мгновенной скорости изменения величины, хотя оно и не лишено интуитивной основы (ибо существует физическое понятие скорости), является весьма абстрактным. Качественно оно имеет совсем иную природу, чем, например, понятие треугольника. Аналогичным образом были обречены на провал все попытки математиков — еще не осознавших, что все эти понятия не основаны непосредственно на опыте, а являются абстракциями более высокой степени, — понять, что такое бесконечно большие величины, которых так старательно избегали греки, бесконечно малые величины, которые греки так искусно обходили, а также отрицательные и комплексные числа.

Иначе говоря, математики создавали понятия, а не черпали абстрактные идеи из реального мира. В поисках источника математических идей математики стали обращаться не к ощущениям, а к человеческому разуму. По мере того как новые идеи оказывались все более полезными в приложениях, их принимали — сначала недовольно, а потом с жадностью. Становясь привычными, новые понятия отнюдь не становились более приемлемыми: привычка лишь рождала у математиков некритичность и создавала ощущение естественности там, где этой естественности на самом деле не было. Начиная с XVIII в. в математику входило все больше далеких от непосредственного опыта, все более абстрактных понятий, которые тем не менее принимались с все меньшими трудностями. Математикам, вознесенным ими же созданной ракетой, не оставалось ничего другого, как рассматривать свою науку с высоты, намного превышающей уровень земной поверхности.

Не почувствовав изменения, происшедшего в характере новых понятий, математики тем самым лишили себя возможности признать необходимость иной основы для аксиоматического построения своей науки, чем самоочевидные истины. Разумеется, новые понятия отличались от старых большей тонкостью, и заложить надлежащий аксиоматический фундамент, как мы теперь знаем, здесь было совсем не так уж просто.

Как же математики могли узнать, в каком направлении следует двигаться, и, если учесть древнюю традицию доказательства, как они могли даже осмеливаться применять полученные результаты и утверждать что-либо о надежности своих выводов? Несомненно, что выбирать направление развития математики помогали как постановка, так и решение физических проблем. Как только физические проблемы облекались в математические формулировки, на передний план выступало виртуозное владение математическим аппаратом, возникали новые методы, рождались новые выводы. Таким образом, физический смысл стал путеводной звездой на разных этапах математического творчества; нередко он становился источником различного рода соображений, позволявших, по крайней мере частично, восполнить недостающие этапы. По существу этот процесс мало чем отличался от доказательства геометрической теоремы, опирающегося на чертеж, но не подкрепляемого ни аксиомами, ни ранее доказанными теоремами.

Помимо физического смысла в развитии новой математики известную роль играли и чутье — здоровая интуиция разумно мыслящего человека. Ведь основная идея и суть метода всегда интуитивно постигаются задолго до того, как они находят рациональное обоснование. Великих математиков, сколь бы рискованными ни были их рассуждения, всегда отличала тонкая интуиция, позволяющая избегать катастрофических ошибок. Интуиция гения более надежна, чем дедуктивное доказательство посредственности.