Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

– Нелепо платить столько за пересылку пустой коробки.

– Вовсе нет, если вы хотите тем самым что-то сообщить. Как иначе называется монета в пять шиллингов?

– Крона.

– А что символизирует крона и что на ней изображено?

– На ней отчеканена корона – символ нашей дорогой королевы.

– Близко, Ватсап, но вы не учли форму ленты.

– Коробка завязана крестом.

– Поэтому марки указывают на короля, а не на королеву. Станция – Кингс-Кросс, это очевидно! Но это не все. Ответьте мне вот на какой вопрос, Ватсап. Почему преступник прислал мне две большие коробки, если одна из них абсолютно пуста? Чтобы послать квитанцию, хватило бы одного небольшого конверта.

После долгой паузы я покачал головой.

– Понятия не имею.

– Коробки должны быть как-то связаны между собой, и характер этой связи должен что-то означать. Связь между ними, конечно, есть, я это понял сразу, как только измерил их стороны. – Сомс вручил мне линейку: – Попробуйте сами.

Я повторил его измерения.

– Длина, ширина и высота каждой коробки равняется целому числу дюймов, – сказал я. – Никакой другой закономерности в голову не приходит.

Он вздохнул.

– Вы не заметили странного совпадения?

– Какого странного совпадения?

– Объем обеих коробок одинаков, а перевязаны они одинаковыми по длине кусками ленты. Более того, размеры коробок – это наименьшие целые числа с такими свойствами.

– Из чего вы делаете вывод… ну конечно! Объем коробок и длина ленты дают нам номер багажной квитанции. Правда, число из них можно составить двумя разными способами, но мы можем с легкостью проверить оба варианта.

Сомс покачал головой.

– Нет-нет. Убийце потребовался бы помощник в багажном отделении, даже если бы такой номер квитанции вообще существовал. Все гораздо проще: преступник пометил какую-то вещь из оставленных в камере хранения этими числами. А внутри мы найдем нечто, что подскажет нам, где его искать.

– Кого искать?

– Разве не очевидно? Труп.

– Снимаю перед вами шляпу, Сомс, – с чувством сказал я. – Или снял бы, если бы она на мне была. Но разве труп, даже если мы его найдем, приведет нас к убийце?

– Это будет полезная улика, но вряд ли достаточная. Однако из этой посылки можно извлечь еще кое-что. Иногда преступник считает себя настолько умным, что намеренно оставляет за собой улики в уверенности, что представители власти глупы и при расследовании дела их просто не заметят. Картонарии – самоуверенные типы, и для них такое поведение типично. Но посмотрим. Так, возникает естественный вопрос, который ведет нас дальше от замечательной арифметики этих коробок. Каким будет наименьший набор из трех коробок с таким же свойством?

Я мгновенно понял ход его мыслей.

– Вы ожидаете такую посылку в ближайшем будущем! С еще одной разорванной квитанцией внутри! Значит, вы думаете, что будет еще одно убийство, да? – Я начал искать свой револьвер. – Мы должны остановить убийцу!

– Боюсь, что убийство уже совершено, но мы, если повезет, сможем предотвратить третью смерть. Сегодня убийца положит какую-то вещь – это может быть что угодно – в камеру хранения одного из главных лондонских вокзалов. Затем он отправит нам почтой коробки. Если мы сумеем заранее определить зашифрованные в них числа, то можно будет предупредить инспектора Роулейда. Он разошлет полицейских по всем основным вокзалам. Они не смогут, конечно, проверить всех пассажиров, которые будут оставлять багаж в камере хранения, поскольку это встревожило бы преступника, но могут посмотреть, не появится ли там кто-нибудь, у кого на багаже будут нанесены каким-то образом эти три числа, и арестовать тех, кто принесет этот багаж. В багаже будут указания на то, где следует искать второй труп. А когда он будет найден, доказательств вины окажется более чем достаточно.

В реальности все прошло не так гладко, и нам с Сомсом пришлось вмешаться после того, как полиция упустила нужного человека. К счастью, три посылки, которые надлежащим порядком прибыли к нам на следующий день вечерней почтой, принесли новые улики, и мы обнаружили, что это убийство было частью более обширного заговора. Извилистые пути, которыми двигалось наше расследование, и леденящие кровь тайны, которые мы откопали – в буквальном смысле, – как я уже объяснил, никогда не будут преданы гласности. Но в конце концов мы поймали преступника. И Сомс позволил мне открыть ответы на два вопроса, которые сыграли главную роль во всем этом расследовании.

Каких размеров были две коробки, с которых все началось? Каких размеров должны быть три коробки, чтобы они обладали такими же свойствами?

Ответы см. в главе «Загадки разгаданные».

RATS-последовательность

1, 2, 4, 8, 16, … Что дальше? Очень соблазнительно, особо не задумываясь, назвать в качестве следующего числа 32. Но что, если я скажу, что последовательность, которую я имел в виду, на самом деле выглядит так:

1 2 4 8 16 77 145 668.

Что теперь скажете про следующий член последовательности? Разумеется, единственного правильного ответа на этот вопрос не существует: придумав достаточно хитрые правила, можно подобрать формулу для любой конечной последовательности. Карл Линдерхольм в книге «Непростая математика» (Mathematics Made Difficult) посвятил целую главу объяснению того, почему на вопрос «Каков следующий член данной последовательности?» всегда можно отвечать: «19». Но вернемся к нашей последовательности: для нее существует простое правило. На него указывает название этой главки, но должен признать, что указание это слишком невнятно, чтобы из него можно было что-то извлечь.

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Дни рождения полезны

Статистика показывает, что люди, у которых больше всего дней рождения, живут дольше всех.

Математические даты

В последние годы многие календарные даты оказались связаны с различными аспектами математики, в результате чего были объявлены особыми днями. Никто не придает таким дням никакого особого значения; все ограничивается исключительно численным сходством. Эти даты не предсказывают конца света или чего-то подобного – по крайней мере, насколько нам известно. В эти дни не происходит ничего особенного, их отмечают исключительно математики и иногда упоминают в СМИ. Но они забавны и дают средствам массовой информации лишний повод заинтересоваться серьезной математикой. Или хотя бы упомянуть математику в своих публикациях.

Можно назвать несколько таких дат. Многие из них связаны с американской системой датировки, где первым указывается не число, а месяц. Опять же, допускаются кое-какие календарные вольности: так, нули иногда можно опускать.

14 марта, или, в американской системе датировки, 3/14 (π ~ 3,14). В Сан-Франциско это квазиофициальный день с 1988 г. Палата представителей США приняла необязывающую резолюцию, в которой признала этот день.

14 марта, время 1:59. В американской системе это записывается как 3/14 1.59 (π ~ 3,14159). Можно и еще точнее: момент времени 1.59 и 26 секунд. 3/14 1:59:26 (π ~ 3,1415926).

22 июля, в британской системе датировки записывается как 22/7 (π ~ 22/7).

Жаль, но вы его пропустили. Этот единственный момент наступил 7 августа 2009 г. (по британской системе), или 8 июля 2009 г. (по американской системе), вскоре после 12:34. Дату и время этого момента можно записать как 12:34:56 7/8/(0) 9. Но некоторые из вас, возможно, еще увидят «День 1234567890» в 2090 г.

Его вы тоже пропустили. Этот момент имел место 11 ноября 2011 г. (в любой системе) в 11 часов 11 минут 11 секунд. Дата и время в тот момент были 11:11:11 11/11/11.

Сегодня, когда я это пишу, до него еще несколько лет. У вас есть шанс! 2 февраля 2022 г.: 22:22:22 2/2/22.

Палиндром, как известно, читается одинаково и слева направо, и справа налево – как фраза «А роза упала на лапу Азора». 22 февраля 2002 г. в 20:02 (британская система, 24-часовое обозначение времени): 20:02 20/02/2002.

Здесь один и тот же палиндром повторяется трижды. Когда можно ожидать следующий такой день в британской системе? Какая дата после названной, опять же в британской системе, представляла собой один цельный палиндром?

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

2 мая 2008 г. (британская система), 5 марта 2008 г. (американская система): 3/5/(0) 8.