Математические головоломки профессора Стюарта - Иэн Стюарт

– Прекрасная новость! – воскликнул Сомс.

– Да, прекрасная, – подхватил и я, хотя не имел ни малейшего понятия, чему так радовался мой друг-детектив. Или хотя бы что означал его вопрос.

– Были ли там какие-либо следы человеческого вмешательства? – спросил Сомс.

– Нет. Старший садовник клялся и божился, что никакое человеческое существо, кроме Эдмунда, не ступало на эту лужайку. Юный Дики…

– Мики.

– Вики видел ужасного пса, но даже он видел его только мельком, когда тот перепрыгивал через садовую ограду. В нашем саду есть чудесные пионы, мистер Сомс, хотя они и не цветут в это вре…

– Я возьмусь за это дело, – сказал Сомс. – Если ваша светлость не против, вам лучше сейчас вернуться в Баскет-холл, а мы с коллегой приедем в четверг первым же медленным поездом.

– Только в четверг, не раньше, мистер Сомс? Но ведь четверг и есть канун дня зимнего солнцестояния! Шары должны быть расставлены правильно в этот день до заката солнца!

– Я очень сожалею, но до той поры меня задержит в Лондоне небольшое дело, касающееся трех восточных владык; речь идет о 600 000 вооруженных воинов, двух спорных границах и украденной шкатулке с изумрудами и сапфирами, принадлежавшей тайному древнему религиозному ордену. И о расплющенном медном наперстке, в котором, я уверен, и кроется ключ ко всему делу. Однако заверяю вас: я убежден, что ваше дело может быть разрешено, ко всеобщему удовлетворению, еще до заката солнца в четверг.

Никакие протесты не помогли. Сомс был непоколебим, и в конце концов леди Иакинф Баске́ отбыла из нашего дома, сморкаясь потихоньку в уголок кружевного платочка.

После ее ухода я поинтересовался, на какое именно дело ссылался Сомс в разговоре, поскольку сам я ничего подобного не слышал.

– Небольшая выдумка с моей стороны, Ватсап, – признался он. – У меня билеты в оперу на сегодняшний вечер.

Мы прибыли на место в середине дня в четверг. На станции нас встретил грум с легкой двуколкой, которую часто называют «кабриолетом для гувернантки» (а может быть, там была гувернантка с повозкой для грума, мои записи в этом месте несколько неразборчивы). Встречающий сообщил нам, что лорд Баск по-прежнему находится в коме. Через каких-то полчаса мы были уже в Баскет-холле, и Сомс вовсю ползал по обширным лужайкам вокруг господского дома с необычайно большим увеличительным стеклом, щеткой для волос и угломером.

– Прекрасная возможность для вас потренироваться в дедукции, Ватсап, – сказал он мне.

– Я вижу, что трава в этом месте потревожена, Сомс.

– Правильно, Ватсап. Следы весьма сложные, но в основном это многочисленные перекрывающиеся отпечатки лап… – он понизил голос, так что слышать его мог только я один, – карликового пуделя.

Дальше он вновь заговорил своим обычным голосом:

– Я не в состоянии разглядеть здесь места, где первоначально были положены шары, но, если я не ошибаюсь – а я этого никогда не делаю, – по следам ясно, что животное сдвинуло ровно четыре шара.

– Это существенно, мистер Сомс? – нервно спросила леди Баске́, держа на руках карликового пуделя.

Сомс посмотрел в мою сторону.

– Да… возможно… – начал я и увидел, что Сомс незаметно кивнул. Ну конечно, кивнул он не совершенно незаметно, вы понимаете, поскольку если бы кивок действительно был незаметен, я бы его не увидел. Поняв кивок Сомса как завуалированное одобрение, я рискнул сказать наугад: – Благодаря этому обстоятельству можно вычислить первоначальное расположение шаров.

– И что, правда можно? – спросила она с полным надежды взглядом.

Каким же было первоначальное расположение шаров? Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Цифровые кубы

Это старая история, но она может послужить нам прелюдией к менее известному вопросу. Число 153 равно сумме кубов составляющих его цифр:

1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153.

Существуют еще три трехзначных числа, обладающих таким же свойством, если не принимать во внимание такие числа, как 001, с начальными нулями. Сможете найти их?

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Самовлюбленные числа

Загадка с кубами приобрела некоторую известность потому, что в 1940 г. знаменитый математик Годфри Харолд Харди написал в книге «Апология математика»[6], что подобные головоломки не имеют никакой математической ценности, поскольку зависят от используемой нотации (в данном случае десятичной) и представляют собой всего лишь случайные совпадения. Однако, разгадывая такие загадки, можно почерпнуть немало полезных знаний в области математики, а обобщения (к примеру, расширение задачи на другие системы счисления, помимо десятичной) позволяют обойти вопрос нотации.

Один из вариантов этой головоломки – концепция самовлюбленного числа, которое определяется как число, равное сумме n-х степеней составляющих его десятичных цифр для некоторого n. Если речь идет о явно заданном n, используется термин n-совершенное число.

Будем записывать число, составленное из цифр a, b, c, d, как [abcd], чтобы отличать его от соответствующего произведения abcd. То есть [abcd] = 1000a + 100b + 10c + d. Мы должны решить уравнение:

[abcd] = a4 +b4 +c4 + d4,

где все неизвестные являются целыми числами и лежат в диапазоне от 0 до 9. Эту задачу никак нельзя называть тривиальной. Попробуйте!

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

На этот раз задача состоит в том, чтобы решить уравнение:

[abcde] = a5 + b5 + c5 + d5+ e5,

что, как несложно догадаться, еще труднее.

Ответ в главе «Загадки разгаданные».

Несложно доказать, что n-самовлюбленные числа существуют только для n ≤ 60, поскольку при любом n > 60 мы имеем n·9n < 10n–1. В 1985 г. Дик Уинтер доказал, что существует ровно 88 самовлюбленных чисел с ненулевой первой цифрой. Для n = 1 в этой роли выступают все десять цифр (мы включаем сюда 0, потому что в данном случае это единственная цифра числа). Для n = 2 самовлюбленных чисел не существует. Для n = 3, 4, 5 см. ответы к разделу о цифровых кубах и две предыдущие задачи. Для n ≥ 6 получаем следующие числа:

Пифилология, пиэмы и пиллиш

Now, I wish I could recollect pi.

«Eureka», cried the great inventor.

Christmas pudding; Christmas pie

is the problem's very centre.

See, I have a rhyme assisting

my feeble brain,

its tasks sometimes resisting.

How I wish I could enumerate pi easily, since all these horrible mnemonics prevent recalling any of pi's sequence more simply.

Последняя фраза выдает нас с головой: все приведенные фразы – это мнемонические правила – тексты, помогающие запомнить часть числа π. Придумано даже слово для подобных вещей: пифилология. Чтобы воспользоваться таким мнемоническим правилом, нужно сосчитать буквы в последовательных словах: 3, 1, 4, 1, 5, …

Некоторые из многочисленных запоминалок для π обсуждались в книге «Кабинет…»; здесь мы вспомним одну из них (приведенную ниже запоминалку на французском языке) и посмотрим еще несколько. Вообще, таких запоминалок существует множество, см., к примеру, сайты:

http://en.wikipedia.org/wiki/Piphilology

http://uzweb.uz.ac.zw/science/maths/zimaths/pimnem.htm

Одно из самых известных мнемонических правил для π – александрийский стих (поэтический размер), который начинается так:

Que j'aime à faire apprendreUn nombre utile aux sages!Glorieux Archimède, artiste ingenieux,Toi, de qui Syracuse loue encore le mérite! –

и продолжается до 126 знаков. Я особенно рекомендую следующую португальскую запоминалку:

Sou o medo e temor constante do menino vadio. (Я – постоянный страх и ужас для ленивых мальчиков.)

А вот румынский вариант:

Asa e bine a scrie renumitul si utilul numar. (Это правильный способ писать знаменитое и полезное число.)

Он обладает несомненным достоинством понятности и простоты[7].

Стихи, посвященные числу π, называют пиэмами. 32-й знак π равен 0, а слово нулевой длины вставить невозможно. Однако существуют способы обойти это препятствие. В пилише – кодовой системе, обычно используемой для π-мнемоники, за 0 считается десятибуквенное слово. Майк Кейт в «Автореферентной истории»[8] использовал другой набор правил. Это, насколько мне известно, самый длинный образец на сегодняшний день («Книга рекордов Гиннесса» мне свидетель) – это «Cadaeiccadenza» (3834 знака) и книга «NotAWake» (10 000 знаков) того же Кейта. Книга начинается так: