Моделирование синергетических систем. Метод пропорций и другие математические методы. Монография - Виктор Шаповалов

Величина c также должна быть большой, так как этот коэффициент пропорционален доходу D0 (D0 > 1) и количеству несчастных случаев Q за некоторый период (Q >> 1).

В результате получаем следующее распределение знаков:

B > 0; ∆ < 0; D > 0.

Такое сочетание знаков совпадает с (П32). В этом случае стационарное решение (28) соответствует седловой неустойчивости.

Таким образом, решение (28) является неустойчивым.

2. Проверим на устойчивость стационарное состояние (29). Для этого его стационарные значения Y1ст и Y2ст подставим в (32) и (33). В результате с учетом (30) и (31) найдем:

a11 = – γ; a12 = c;

a21 = µY2ст – η = 0 – η = – η;

a22 = µY1ст + σ = 0 + σ = σ.

По формулам (П22) вычислим B, ∆ и D:

B = σ – γ, ∆ = ηc – σγ, D = (σ + γ)2 – 4ηc.

Выше мы уже установили, что γ и σ меньше, чем η и с. Это позволяет нам определить знаки только величин ∆ и D: ∆ > 0; D < 0. Для B возникают две ситуации.

Ситуация 1: σ > γ. В этой ситуации большинство клиентов сохраняют верность фирме (γ уменьшается). При этом распределение знаков имеет вид

B > 0; ∆ < 0; D > 0.

Последнее совпадает с (П30), т. е. в данном случае решение (29) соответствует неустойчивому фокусу (см. рис. П5). Расширяющаяся спираль указывает на рост значений переменных Y1 и Y2 (числа клиентов и прибыли).

Ситуация 2: σ < γ. Эта ситуация возникает, если фирма по каким-либо причинам теряет часть клиентов (γ увеличивается). Распределение знаков имеет вид

B < 0; ∆ < 0; D > 0.

Данное сочетание знаков совпадает с (П25), т. е. в данном случае решение (29) соответствует устойчивому фокусу (см. рис. П2). Сжимающаяся спираль указывает на уменьшение числа клиентов Y1 и прибыли Y2.

На практике механизм перехода фирмы из одной ситуации в другую может выглядеть следующим образом.

В ситуации 1 благодаря состоянию «неустойчивый фокус» (расширяющаяся спираль в пространстве координат Y1 и Y2) происходит рост числа клиентов и прибыли. По мере роста числа клиентов увеличивается и число страховых выплат. Наступает момент, когда клиентов становится настолько много, что их взносы не покрывают убыток от страховых выплат. В этом случае фирма вынуждена уменьшить, например, размер страховой премии. Из-за этого часть клиентов уходит из данной фирмы (γ увеличивается). В результате фирма оказывается в ситуации 2. Этой ситуации соответствует состояние «устойчивый фокус» (сжимающаяся спираль в пространстве координат Y1 и Y2). В таком состоянии число клиентов уменьшается до тех пор, пока прибыль фирмы не позволит вернуться к прежней повышенной страховой премии. В этом случае клиенты перестанут уходить из фирмы, что соответствует уменьшению γ. В результате фирма переходит в ситуацию 1, и т. д.

2.2.2.4. Таким образом, мы показали, что система «частная страховая фирма» с течением времени приходит к устойчивому состоянию, представляющему собой колебания вокруг оптимальных значений числа клиентов и размера прибыли. Сами оптимальные значения зависят от величин коэффициентов γ, σ, η и с.

2.3. Модель устойчивости физической системы: генератор Ван дер Поля

В этом разделе мы покажем, что устойчивое поведение маятника, колеблющегося в среде с переменной вязкостью, и устойчивое поведение средней фирмы, рассмотренное нами в разделе 2.1, имеют много общего [28].

2.3.1. Рассмотрим систему, представляющую собой математический маятник, совершающий колебания в вязкой среде, коэффициент вязкости γ которой зависит от θ – угла отклонения маятника от положения равновесия – по следующему закону: а) γ < 0 при малых θ и б) γ > 0 при больших θ. Такая система при некотором критическом значении угла θ должна совершать устойчивые колебания по типу предельного цикла (т. е. с постоянной амплитудой) [2].

Нетрудно сообразить, что указанному закону удовлетворяет следующее выражение

γ = γ0 (θ2 – 1),

где γ0 – коэффициент вязкости среды в отсутствие колебаний.

Подставив это выражение вместо коэффициента вязкости в известное уравнение колебаний маятника в вязкой среде (см., например, (П15)), получим

(34)

где τ – время; ω2 = gK – квадрат циклической частоты колебаний; K – кривизна траектории маятника; g – ускорение свободного падения.

Уравнение (34) называется уравнением Ван дер Поля, а система, которую оно описывает, – генератором Ван дер Поля [2].

В безразмерном виде уравнение (35) имеет вид:

(35)

где 

2.3.2. Покажем, что устойчивым стационарным состоянием (аттрактором) генератора Ван дер Поля действительно является предельный цикл. С этой целью уравнение (35) приведем к виду эволюционного уравнения (см. (П6)):

где Y1 = φ; Y2 = dφ/dt;

F1 = Y2;

F2 = εY2 – Y12Y2 – Y1. (36)

Находим стационарное решение

Y1cm = Y2ст = 0. (37)

По формуле (П12) с учетом (36) находим коэффициенты линейного разложения

а11 = 0;

а12 = 1;

а21 = –2Y1стY2ст – 1;

а22 = ε – Y21ст.

По формулам (П22) находим

B = ε – Y21ст;

∆ = 2Y1стY2ст + 1; (38)

D = (ε – Y21ст)2 – 4 ∆.

Подставив стационарное решение (37) в (38), получим, что

B > 0; ∆ > 0; D = ε2 – 4. (39)

2.3.3. Если ε достаточно мало, то D становится отрицательным, а распределение знаков в (39) соответствует неустойчивому фокусу (см. (П30)). В этом случае фазовая траектория в координатах Y1 и Y2 будет представлять собой спираль, раскручивающуюся из начала координат (см. рис. П5).

Раскручивание спирали приводит к тому, что с течением времени увеличивается переменная Y1, которую мы использовали для обозначения угловой величины φ из уравнения (35). Если величина φ вырастает настолько, что выполняется φ2 > ε, то знак перед производной первого порядка в уравнении (35) становится положительным. Тогда в первом из уравнений (38) мы получим, что B = —ε (при Y1cm = 0), т. е. B < 0. Учитывая, что ∆ > 0; D < 0, и сравнивая с выражением (П25), приходим к заключению о том, что в этом случае стационарное решение (37) является устойчивым фокусом. Фазовая траектория представляет собой спираль, сходящуюся к началу координат (см. рис. П2).

Эволюционная диаграмма переменной Y1 показана на рис. 4. Штриховой линией обозначены фазовые траектории в пространстве Y1, Y2. Огибающие этих траекторий выделены. Вид сечения эволюционной диаграммы в месте сшивки двух конусов в координатах Y1 и Y2 совпадает с предельным циклом. При этом очевидно, что радиус спирали с течением времени стремится к значению √ε по оси Y1. Причем если речь идет о малом значении ε, т. е. о малой вязкости γ0, то вид устойчивого стационарного решения закона (35) должен быть близок к уравнению окружности [2]:

Y21ст + Y22ст ≈ ε.

2.3.4. Таким образом, в фазовом пространстве двух переменных генератору Ван дер Поля соответствует устойчивая замкнутая траектория (аттрактор) – предельный цикл.

Сравнивая между собой эволюционные диаграммы, представленные на рис. 2 и 4, приходим к выводу об общих закономерностях возникновения устойчивых состояний описанных экономической и физической систем.

Рис. 4

2.4. Бифуркация в модели эволюции простейшей биологической системы

Различные системы по разным причинам попадают в неустойчивое состояние. Однако, попав в него, они подчиняются общим закономерностям, отражающим суть неустойчивого состояния. При этом бифуркационные закономерности занимают среди названных не последнее место (о бифуркациях см. Приложение, раздел П5).

Биологические системы – это открытые и неравновесные системы. Достигнуть равновесия им постоянно мешает какое-нибудь внешнее воздействие. В математическом отношении внешнее воздействие учитывается с помощью управляющего параметра в эволюционном уравнении. Если изменяются внешние условия, то изменяется и величина управляющего параметра. Последнее же, как мы видели, приводит к смене типов устойчивости. В результате при определенном значении этого параметра система может оказаться неустойчивой и, следовательно, подверженной бифуркации.