Электроника?.. Нет ничего проще! - Жан-Поль Эймишен

Рис. 148. «Аналоговый умножитель Незнайкина» состоит из двух строго линейных потенциометров и вольтметра.

На потенциометр R2 подается напряжение U, а вольтметр измеряет напряжение V, представляющее собой произведение напряжения U на ослабление, вносимое вторым потенциометром. Я разделил шкалу вольтметра 10 в на 100 частей, полагая, что эта шкала даст мне произведение двух цифр, выставленных на шкалах потенциометров. Надеюсь, ты оценишь мое устройство?

Л. — Должен признать твою удачу, Незнайкин, ты сделал аналоговый умножитель, который иногда применяется в вычислительных машинах.

Н. — Ааах, так это уже известно? А я-то уже было начал писать заявку на получение патента.

Л. — Не огорчайся, Незнайкин. Если ты и дальше будешь так быстро прогрессировать, то вскоре сможешь получать патенты. Твоя система очень остроумна, и я поздравляю тебя с тем, что ты сумел ее создать без посторонней помощи. Какое сопротивление имеют твои потенциометры?

Н. — Сопротивление потенциометра R1 = 2000 ом, a R2 =100 000 ом, а используемый вольтметр представляет собой универсальный измерительный прибор с входным сопротивлением 20 000 ам/в.

Л. — А насколько точно работает твое устройство?

Н. — Откровенно говоря, я был несколько разочарован его точностью, особенно в тех случаях, когда движок второго потенциометра находится примерно посередине. Так, например, когда я поставил оба движка посередине шкалы (и тот и другой на деление 5), вольтметр должен был показать 25 делений (2,5 в). Однако я с удивлением обнаружил, что он показывает чуть-чуть больше 22. По-видимому, я недостаточно точно сделал шкалы.

Л. — Я знаю твою аккуратность (когда ты захочешь) в выполнении чертежей и поэтому твердо убежден, что шкалы здесь ни при чем. Причина кроется в чем-то другом. Позволь мне рассчитать… Правильно, здесь, верно, именно такой и должна быть ошибка.

Н. — Так объясни, пожалуйста, в чем же дело.

Л. — Ты просто забыл учесть, что вольтметр неправильно измеряет выходное напряжение потенциометра R2. Сопротивление потенциометра 100 000 ом, а вольтметр на шкале 10 в обладает сопротивлением 200 000 ом. Как ты видишь, это сопротивление совсем не бесконечно по сравнению с сопротивлением R2 и в результате измеряемое напряжение V оказывается меньше того, которым оно было бы при использовании вольтметра с очень большим входным сопротивлением.

Н. — Значит, для этого устройства мне следовало бы достать совершенно специальный вольтметр?

Л. — Ты можешь найти выход и без такого вольтметра. Можно значительно улучшить результаты, если на место R2 поставить потенциометр с меньшим сопротивлением. Расчеты показывают, что наилучшим образом подходит потенциометр с сопротивлением 14 000 ом. Хорошие результаты можно получать уже при сопротивлении 10 000 ом.

Н. — Я полностью согласен, что в этом случае вольтметр правильно покажет выходное напряжение потенциометра R2. Но я очень боюсь, как бы это сопротивление 10 000 ом, подключенное к потенциометру R1, не повлияло сильно на потенциал последнего.

Л. — Сейчас я покажу тебе, как рассчитать величину возникновения погрешности. Для этой цели можно воспользоваться одним весьма общим методом, который называют преобразованием Тевенина.

Представь себе источник напряжения Е, к которому подключен делитель напряжения, состоящий из резисторов Р и Q (рис. 149).

Рис. 149. Напряжение Е, приложенное к делителю напряжения Р — Q, создает некоторое напряжение между точками А и В.

Если все это устройство поместить в коробку, а от точек А и В сделать выходящие наружу выводы, то полученную конструкцию можно рассматривать как эквивалент нового источника. Согласно преобразованию Тевенина точки А к В ведут себя как выводы источника с э. д.с. Е' и внутренним сопротивлением r. Нам предстоит рассчитать эти две величины. Расчет Е' не труден — эта величина представляет собой разность потенциалов между точками А и В, когда к ним снаружи коробки ничего не подключено. Ты свободно сможешь выполнить эту задачу, если начнешь с расчета тока, даваемого источником Е.

Н. — На мой взгляд, это совсем нетрудно. Источник замкнут на последовательно соединенные резисторы Р и Q, следовательно, протекающий по резисторам ток равен Е/(Р + Q). В этих условиях протекающий по резистору Q ток вызывает падение напряжения E·Q/(P + Q).

Л. — Совершенно верно. Это и есть э. д. с. нашего источника (рис. 150), а внутреннее сопротивление будет…

Рис. 150. Напряжение между точками А и В схемы рис. 149 эквивалентно (по преобразованию Тевенина) напряжению источника э. д. с. Е', внутреннее сопротивление которого представляет собой параллельно соединенные резисторы Р и Q (оно равно P·Q/(P + Q)).

Н. — Я предполагаю, что это будет просто-напросто сопротивление резистора Р.

Л. — Ты ошибаешься, но не отчаивайся, потому что почти все делают эту ошибку. На самом деле внутреннее сопротивление нашего источника эквивалентно сопротивлению параллельно включенных резисторов Р и Q, т. е. равно P·Q/(P + Q).

Н. — Совершенно неожиданный результат. А ведь резистор Р включен последовательно между источником Е и точкой А.

Л. — Я могу с помощью математики доказать тебе правильность результата.

Н. — Все, что хочешь, но только не это!

Л. — Такую реакцию я и предвидел. Резистор Q включен параллельно с тем, что ты можешь включить между точками А и В. Если его сопротивление мало по сравнению с Р, то мы можем разместить между А и В резистор с сопротивлением, малым по сравнению с Р, но большим по сравнению с Q. Следовательно, величина Q останется неизменной, иначе говоря, внутреннее сопротивление нашего эквивалентного источника имеет величину, значительно меньшую Р.

Н. — Хорошо, я признаю твое преобразование Тевенина, но как можно применить его к нашему потенциометру R1?

Л. — Очень просто, нужно представить себе, что источник напряжения 10 в и обе части обмотки потенциометра R1, расположенные выше и ниже ползунка (см. рис. 148), заменены источником, дающим напряжение, точно соответствующее шкале потенциометра R1. Внутреннее сопротивление этого нового источника равно сопротивлению соединенных параллельно двух участков обмотки потенциометра R1.

Как ты видишь, когда движок потенциометра R1 находится очень близко к одному из концов его обмотки, внутреннее сопротивление его очень мало, потому что одна из двух частей потенциометра имеет низкое сопротивление. Можно доказать, что это эквивалентное сопротивление достигает максимума, когда движок потенциометра R1 находится посередине своей обмотки. В этот момент сопротивление каждого из участков обмотки равно половине полного сопротивления всей обмотки.

При параллельном включении эквивалентное сопротивление равно одной четвертой части полного сопротивления обмотки. Иначе говоря, э. д. с. твоего эквивалентного источника, состоящего из батареи 10 в и потенциометра R1, в зависимости от положения движка этого потенциометра изменяется от 0 до 10 в. А внутреннее сопротивление этого источника равно нулю, когда движок потенциометра находится в самом низу, проходит через максимум 500 ом, когда движок достигает середины обмотки, и вновь становится равным нулю, когда движок доходит до своего крайнего верхнего положения. Следовательно, в своих расчетах мы должны исходить из того, что максимальное значение эквивалентного внутреннего сопротивления 500 ом. Как ты видишь, потенциометр с сопротивлением 10 000 ом очень мало изменит ненагруженное выходное напряжение потенциометра R1.