Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт

напоминает надувной спасательный круг. В нем есть отверстие. Вы можете просунуть в это отверстие палец или, в случае спасательного круга, тело. Но это отверстие не в самой поверхности. Если бы это было так, надувной спасательный круг сдулся бы – и вы бы утонули. Отверстие расположено в месте, где поверхности как раз нет. Это совершенно логично: инженер широкополосной связи, сидящий в инспекционном люке, тоже находится там, где нет поверхности. Но у люка есть края, а вот у тора имеется отверстие, но нет ни одного края. Как и у цилиндра, у тора две стороны: та, что мы видим на рисунке, и та, что «внутри».

Фигура внизу справа менее известна. Это бутылка Клейна. Она называется так в честь великого немецкого математика Феликса Клейна и потому, что внешне похожа на бутылку. Название, по-видимому, было немецким каламбуром, поскольку по-немецки Fläche означает «поверхность», а Flasche – «бутылка». В одном отношении рисунок выглядит обманчиво: кажется, что поверхность протыкает себя насквозь. В бутылке Клейна такого не происходит. Самопересечение возникает потому, что мы, естественно, рисуем так, будто предмет находится в трехмерном пространстве. Чтобы получить бутылку Клейна без самопересечений, нужно либо выйти в четыре измерения, либо, что еще лучше, последовать стандартной топологической практике – вообще отбросить потребность в окружающем пространстве. Тогда бутылку Клейна можно рассматривать как цилиндр, два круглых конца которого соединены друг с другом, но после того, как один из них вывернули наизнанку. Чтобы проделать это в трехмерном пространстве, необходимо проткнуть концом цилиндра его стенку и вновь его там раскрыть, но можно сделать то же самое концептуально, просто добавив правило, по которому вы, падая с одного конца цилиндра, оказываетесь на другом его конце, со сменой направления вдоль окружности. У бутылки Клейна, как у тора, нет краев, а ленту Мёбиуса она напоминает тем, что имеет только одну сторону.

Итак, мы описали различия всех четырех приведенных на рисунке топологических пространств. Они различаются либо числом концов, либо числом сторон. Либо типами отверстий, если мы только сможем сказать, что подразумеваем под отверстием. Это наблюдение открывает один из фундаментальных вопросов топологии. Как определить, являются ли данные топологические пространства идентичными или отличаются друг от друга? Для этого недостаточно просто посмотреть на фигуру, потому что она может быть деформирована. Как говорится, для тополога что бублик, что кофейная чашка – все едино. Чтобы ответить на вопрос, необходимо привлечь топологические свойства, по которым различаются пространства.

Сделать это не всегда просто.

* * *

Бутылка Клейна выглядит как классическая математическая игрушка. Трудно понять, как она может, хотя бы в принципе, быть полезной в реальном мире. Конечно, Гильберт настаивал, что математические игрушки ценны не сами по себе, а через теории, на создание которых они вдохновляют, так что бутылке Клейна нет нужды оправдывать свое существование непосредственно. На самом деле эту невероятную фигуру все же можно отыскать в природе. Она возникает в зрительной системе приматов – а это обезьяны обычные и человекообразные, ну и, конечно, мы.

Более столетия назад невролог Джон Хьюлингс Джексон выяснил, что кора головного мозга человека содержит своеобразную топографическую карту мышц тела. Кора – это извилистая поверхность мозга, так что все мы держим в голове карту собственных мышц. Это полезно, потому что мозг управляет сокращением и расслаблением мышц и, соответственно, нашими движениями. Значительная часть коры отвечает за зрение, и мы сегодня знаем, что зрительная кора содержит в себе аналогичные карты, управляющие зрительным процессом.

Зрение – это не только глаз, работающий как камера и посылающий фотографию в мозг. Оно намного сложнее, потому что мозг должен не только получить изображение, но и распознать его. Подобно камере, глаз имеет линзу для фокусировки входящего изображения, а работа сетчатки немного напоминает работу пленки. На самом деле зрительный процесс ближе к работе цифровых камер. Свет попадает на крохотные рецепторы на сетчатке, именуемые палочками и колбочками, а нейронные связи передают сигналы в кору мозга по зрительному нерву – пучку нервных волокон. По пути эти сигналы обрабатываются, но основную часть анализа берет на себя кора.

Зрительную кору можно представить в виде ряда слоев, уложенных друг на друга. У каждого слоя своя роль. Верхний слой V1 распознает границы между частями изображения. Это первый шаг сегментирования сигнала на составляющие части. Информация о границах передается глубже в кору и на каждом шаге анализируется на наличие следующего типа структурной информации, а затем преобразуется для передачи на следующий уровень. Естественно, это сильно упрощенное описание, да и «слои» – тоже упрощение. На самом деле много сигналов передается и в обратном направлении. Эта система создает в наших головах многоцветное трехмерное представление внешнего мира – настолько живое и подробное, что по умолчанию мы считаем, что это и есть окружающий мир. Это не совсем соответствует истине, что и демонстрируют наглядно зрительные иллюзии и двусмысленности. Во всяком случае, в конечном итоге кора сегментирует изображение на части, в которых мы можем узнать кошку, или тетю Веру, или что угодно еще. А затем мозг может вызвать дополнительную информацию: кличку кошки или тот факт, что Вера недавно выиграла в лотерею.

Слой V1 распознает границы при помощи островков нервных клеток, чувствительных к краям, ориентированным в тех или иных направлениях. На рисунке показана часть V1, полученная путем оптической записи из зрительной коры макаки. Разные оттенки серого (в статье, послужившей мне источником, их называют цветами, так что и я буду их так называть) соответствуют нейронам, которые срабатывают при получении данных, указывающих на границу такой ориентации. Цвет непрерывно переходит от одного оттенка к другому, за исключением отдельных изолированных точек, где все цвета существуют рядом в конфигурации, напоминающей колесо со спицами. Эти точки представляют собой сингулярности поля ориентации.

Эта конфигурация ограничена топологическими свойствами поля ориентации. Существует всего два способа расположить серию цветов вокруг сингулярности так, чтобы все переходы были непрерывны: цвета будут меняться либо последовательно по часовой стрелке, либо против. На рисунке показаны примеры обоих вариантов. Присутствие сингулярностей неизбежно, поскольку зрительной коре, чтобы распознать линию целиком, приходится использовать много вертушек – поворотных пунктов.

Теперь мы зададимся вопросом, как мозг совмещает информацию об ориентации с информацией о том, как граница движется. Направление – это не только прямая, но и стрелочка на ней (север противолежит югу, хотя то и другое находится на одной прямой), и после поворота на 180° стрелочка меняется на противоположную. Чтобы направление вернулось к первоначальному, необходимо совершить поворот на 360°. Границы не имеют стрелочек и потому возвращаются к первоначальному состоянию после поворота на 180°. Кора должна каким-то образом