Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Здесь на сцене появился Ленц. Он предложил простую математическую модель: множество электронов, которые влияют на соседей в соответствии с их относительными спинами. В этой модели каждый электрон располагается в фиксированной точке пространства, обычно в узле регулярной решетки, напоминающей клетки большой шахматной доски. Каждый электрон в этой модели может существовать в одном из двух состояний: +1 (спин «вверх») и –1 (спин «вниз»). В каждый момент решетка покрыта узором из плюс и минус единиц. Если продолжить аналогию с шахматной доской, то каждый квадратик окрашен либо в черный цвет (спин «вверх»), либо в белый (спин «вниз»). Может возникнуть любой узор из белых и черных квадратиков, по крайней мере в принципе, потому что квантовые состояния в определенной мере случайны, но некоторые паттерны более вероятны, чем другие.
Расчеты или эксперименты, которые руководитель не хочет проводить сам, обычно поручают аспирантам, что и сделал Ленц, который дал задание Изингу рассмотреть эту модель. Надо отметить, что в данном случае под словом «рассмотреть» подразумевалась довольно тонкая вещь. Речь не шла о динамике переворачивания спинов или конкретных паттернов. Речь шла о расчете распределения вероятностей возможных паттернов и выяснении, как это распределение зависит от температуры и внешних магнитных полей. Распределение вероятностей – это математический инструмент, часто формула, которая в данном случае показывает, насколько вероятен любой заданный паттерн.
Научный руководитель дал задание, и вы, если хотите получить в конечном итоге степень доктора философии, делаете что вам сказано. Или, по крайней мере, стараетесь изо всех сил, потому что руководители иногда ставят перед аспирантами слишком сложные задачи. В конце концов, причина, по которой руководитель предлагает аспиранту решить задачу, состоит в том, что сам он не знает ответа и часто не имеет понятия, насколько сложно его найти.
Так что Изинг засучил рукава и принялся разбираться в модели Ленца.
* * *
Существуют общепринятые приемы, о которых знают научные руководители и которые они могут подсказать аспирантам. По-настоящему умные аспиранты открывают их для себя сами, наряду с идеями, которые руководителям даже не приходили в голову. Один из таких приемов звучит забавно, но, как правило, помогает: если вы собираетесь работать с очень большим числом, все заметно упростится, если сделать это число бесконечным. Например, если вы хотите разобраться в модели Изинга для большой, но конечной шахматной доски, представляющей кусок ферромагнитного материала реалистичного размера, математически удобнее работать с бесконечной шахматной доской. Причина в том, что у конечной доски есть края, которые, как правило, осложняют расчет, поскольку клетки на краю отличаются от клеток в середине. Это разрушает симметрию строя электронов, а симметрия упрощает расчеты. У бесконечной шахматной доски краев нет.
Картина шахматной доски соответствует тому, что математики и физики называют двумерной решеткой. Слово «решетка» означает, что базовые единицы, то есть клетки доски, выстроены регулярным образом – в данном случае идеально ровными строками и столбцами. Математические решетки могут иметь любую размерность, тогда как физические обычно имеют размерность один, два или три. Самыми показательными для физики являются трехмерные решетки: бесконечный ряд идентичных кубиков, составленных в штабеля, как одинаковые ящики на складе. В данном случае электроны заполняют область пространства примерно как атомы в кристалле с кубической симметрией, скажем в кристалле соли.
Математики и специалисты по математической физике предпочитают начинать с более простой, но менее реалистичной модели: одномерной решетки, где точки нахождения электронов располагаются вдоль прямой линии на равных расстояниях, как целые числа на числовой прямой. Картина не слишком физическая, но удобная для рассмотрения идей на простейшей подходящей модели. С увеличением размерности решетки возрастают и математические сложности. Так, кристаллическая решетка на прямой существует всего одна, на плоскости их уже 17, а в трехмерном пространстве – целых 230. Так что Ленц поставил перед своим аспирантом задачу выяснить, как ведут себя подобные модели, и ему хватило здравого смысла рекомендовать юноше сосредоточиться на одномерной решетке. Успехи аспиранта оказались достаточными, чтобы такие модели сегодня назывались моделями Изинга.
Хотя модель Изинга связана с магнитными явлениями, ее структура и способы работы с ней относятся скорее к термодинамике. Эта область зародилась в классической физике, где занималась такими величинами, как температура и давление в газах. К 1905 году, когда физики наконец удостоверились в том, что атомы существуют и соединяются в молекулы, они поняли также, что переменные вроде температуры и давления представляют собой статистические средние величины. Это «макроскопические» величины, которые мы можем легко измерить, но определяются они событиями значительно более мелкого «микроскопического» масштаба. Кстати говоря, их невозможно разглядеть в микроскоп, хотя сегодня существуют микроскопы, позволяющие получать изображения атомов. Эти приборы работают, только когда атом неподвижен. В газе громадное число молекул носится вокруг, иногда сталкиваясь и отскакивая друг от друга. Столкновения рандомизируют движение молекул, то есть делают его случайным.
Теплота есть форма энергии, заключенная в движении молекул: чем быстрее они движутся, тем горячее газ и, соответственно, выше его температура. А температура отличается от теплоты: это мера качества теплоты, а не ее количества. Существует математическая взаимосвязь между положением и скоростью молекул и термодинамическими средними параметрами. Эта взаимосвязь является предметом отдельной научной области – статистической механики, которая пытается вычислять макроскопические переменные через микроскопические, с особым акцентом на фазовые переходы. Например, что именно меняется в поведении молекул воды, когда лед тает? И какое отношение к этому имеет температура вещества?
* * *
Перед Изингом стояла аналогичная задача, но вместо молекул H2O и льда, превращающегося при нагревании в воду, он анализировал спины электронов и магниты, теряющие свои свойства при нагревании. Ленц сделал модель – ту самую, которую мы сегодня называем моделью Изинга, – как можно более простой. Однако, как часто случается в математике, ее рассмотрение простым не было.
Напомню, что «рассмотрение» модели Изинга означает расчет того, как статистические свойства группы крохотных магнитиков меняются с температурой. Это сводится к нахождению полной энергии системы, которая зависит от магнитного паттерна – числа и организации положительных и отрицательных спинов, черных и белых клеток на шахматной доске. Физические системы стремятся к состояниям с минимально возможной энергией. Именно поэтому, например, упало легендарное ньютоновское яблоко: его потенциальная гравитационная энергия уменьшалась, пока оно летело к земле. Ньютон догадался, что те же рассуждения применимы и к Луне, которая непрерывно падает, но пролетает мимо поверхности Земли, поскольку одновременно уходит в сторону. При помощи вычислений он показал, что одна и та же сила тяготения количественно объясняет оба движения.
Так или иначе, все крохотные
