Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт

таким образом, чтобы скорость света имела одинаковое значение в любой системе координат, движущейся с постоянной скоростью. Достигается это при помощи преобразований Лоренца – математических формул, названных в честь нидерландского физика Хендрика Лоренца и описывающих, как меняются координаты и время при сравнении разных систем отсчета. Основные предсказания этой теории с ньютоновской точки зрения выглядят очень странно. Ничто не может двигаться быстрее света; длина объекта уменьшается с увеличением скорости и становится сколь угодно малой по мере того, как скорость приближается к скорости света; при этом субъективное время замедляется до черепашьей скорости, а масса неограниченно растет. Грубо говоря, при скорости света длина объекта (в направлении движения) уменьшается до нуля, время останавливается, а масса становится бесконечной.

Общая теория относительности сохраняет все эти элементы, но встраивает в систему еще и гравитацию. Однако гравитация здесь уже не сила, как представлял ее Ньютон, а эффект кривизны пространства-времени – четырехмерного математического конструкта, объединяющего три пространственных измерения и одно временно́е. Вблизи любой массы, например массы звезды, пространство-время искривляется, образуя своеобразную вмятину, но в четырех измерениях. Световой луч или частица, пролетающие мимо, отклоняются от прямой траектории и следуют за кривизной. Это создает иллюзию притягивающей силы, действующей между звездой и частицей.

Обе теории получили основательное подтверждение при помощи высокочувствительных экспериментов. Несмотря на свою необычность, они дают наилучшую модель реальности, известную физикам. Математика GPS должна учитывать релятивистские эффекты, обусловленные как скоростью спутника, так и гравитационной ямой Земли, – в противном случае система GPS будет бесполезной. В самом деле, успех GPS со всеми этими поправками – серьезный тест на истинность как специальной, так и общей теории относительности.

Большинство пользователей GPS либо неподвижны относительно поверхности Земли, либо движутся медленно – чаще всего не быстрее автомобиля. По этой причине конструкторы решили передавать информацию об орбитах спутников с использованием системы отсчета, жестко привязанной к вращающейся Земле, и считать, что скорость ее вращения постоянна. Форма нашей планеты, называемая геоидом, приблизительно соответствует слегка уплощенному эллипсоиду вращения.

Когда вы находитесь в машине, а спутники проносятся где-то в вышине, они, очевидно, движутся относительно вас. Специальная теория относительности говорит, что для вас часы на спутнике будут тикать медленнее, чем эталонные часы на Земле. Они должны отставать примерно на 7 микросекунд в сутки из-за релятивистского растяжения времени. Помимо этого, сила тяготения на высоте спутниковых орбит очевидно меньше, чем на поверхности Земли. С точки зрения общей теории относительности пространство-время наверху, рядом со спутниками, является более плоским – менее искривленным, – чем возле вашего автомобиля. Этот эффект заставляет часы на спутнике идти быстрее наземных часов. Общая теория относительности предсказывает, что они должны обгонять наземные часы на 45 микросекунд в сутки. Сложив эти разнонаправленные эффекты, мы получим, что часы на спутнике должны идти быстрее часов на Земле примерно на 45–7 = 38 микросекунд в сутки. Такая ошибка стала бы заметной через две минуты, а ваше местоположение смещалось бы на 10 км в сутки от правильной точки. Всего за сутки спутниковый навигатор переместил бы вас в другой город, за неделю – в другую область, за месяц – в другую страну.

Первоначально инженеры и ученые, работавшие над проектом GPS, не были уверены в том, что релятивистские эффекты имеют значение. Спутники, конечно, летят быстро по нашим меркам, но по сравнению со скоростью света они лишь медленно ползут. Тяготение Земли в космических масштабах тоже очень невелико. Так или иначе, величины этих эффектов постарались оценить как можно точнее. В 1977 году, когда на орбиту был выведен первый прототип цезиевых атомных часов (или атомного стандарта частоты, как это чаще называют), разработчики все еще не могли точно сказать, насколько велики эти эффекты и будут ли они положительными или отрицательными. Некоторые вообще считали, что релятивистские поправки не потребуются. Так что инженеры включили в часы схему, способную по сигналу с Земли изменять их частоту, чтобы скомпенсировать предсказанные релятивистские эффекты при необходимости. В первые три недели они, не включая эту схему, тщательно измеряли частоту часов, которая оказалась на 442,5 триллионных долей выше частоты наземного эталона. Общая теория относительности предсказывала повышение частоты на 446,5 триллионных долей. Весьма точное попадание.

* * *

GPS используется для решения множества других задач, помимо очевидного позиционирования (машин, коммерческого транспорта, туристов) и военных применений, которые, собственно, и привели в свое время к созданию этой глобальной системы. Я упомяну лишь несколько таких задач.

Вам не обязательно знать, где вы находитесь, при вызове через специальную программу службы техпомощи при поломке машины – GPS сделает все сама. Кроме того, система используется для предотвращения угона автомобилей, для картографирования и геодезических измерений, для отслеживания перемещений домашних животных и пожилых родственников, а также для охраны произведений искусства. Среди главных областей применения – морская и воздушная навигация и отслеживание движения судов для транспортных компаний. Теперь, когда в большинстве сотовых телефонов имеются GPS-приемники, вы можете привязывать фотографии к месту, где они сделаны, GPS поможет определить местоположение потерянного или украденного телефона и вызвать такси. GPS в сочетании с интерактивными картами, такими как Google Maps, автоматически показывает, где вы находитесь. Фермерам она позволяет управлять беспилотными тракторами, банкирам – мониторить финансовые переводы, туристам – отслеживать свой багаж. Ученые с помощью GPS могут наблюдать за миграцией редких видов животных и отслеживать последствия экологических катастроф, таких как разливы нефти.

Как же мы прежде обходились без GPS? Поразительно, насколько быстро математическая магия, открывающая простор для революционных (и очень дорогостоящих) технологий, может изменить нашу жизнь.

12

Оттаивание Арктики

Ледяной щит Гренландии тает намного быстрее, чем считалось ранее, угрожая сотням миллионов людей потопом и сильно приближая необратимые последствия изменения климата. Гренландия теряет ледяной покров в семь раз быстрее, чем в 1990-е годы, а масштабы и скорость таяния льда намного выше предсказанных.

THE GUARDIAN,

декабрь 2019 года

Наша планета разогревается, это опасно, и в этом наша вина. Мы знаем об этом, потому что тысячи экспертов-климатологов, работающих с сотнями математических моделей, предсказывали такое развитие событий не один десяток лет, и наблюдения не менее компетентных метеорологов подтверждают большую часть их выводов. Я мог бы посвятить оставшуюся часть книги разглагольствованиям о распространителях фейковых новостей и приводить в противовес изрекаемым ими нелепостям все более многочисленные свидетельства реальности антропогенных климатических изменений, но, как говорит Арло Гатри в середине фильма «Ресторан Элис», я пришел рассказать вам не об этом.

Изменения климата носят статистический характер, так что любое конкретное событие можно представить как одно из отклонений, которые просто происходят время от