Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт

из генератора псевдослучайных чисел, скорость которого более миллиона чипов в секунду. Чип здесь – примерно то же, что и бит, но значения он принимает +1 или –1, а не 0 или 1. Физически это прямоугольный импульс с амплитудой либо +1, либо –1. «Модуляция» означает, что первоначальная строка данных умножается на значение чипа в каждое мгновение. Поскольку все другие данные меняются, по сравнению с этим, очень медленно, методика «сдвинуть и совместить» по-прежнему работает достаточно хорошо, но иногда сигналы совпадают полностью, а иногда они оказываются противоположными по знаку. Если воспользоваться статистическим методом корреляции, то получится, что вам нужно просто сдвигать сигналы друг относительно друга, пока их корреляция не станет достаточно высокой.

Мало того, GPS проделывает то же самое и с другим псевдослучайным числом, модулирующим сигнал на вдесятеро большей скорости. Более медленный сигнал называется «код грубого определения местоположения объектов» и предназначен для гражданского использования. Более быстрый – «точный код» – зарезервирован для военных. Он, кроме того, зашифрован и повторяется не чаще чем раз в семь суток.

Генераторы псевдослучайных чисел, как правило, основаны на абстрактной алгебре, такой как многочлены над конечными полями, или на теории чисел, такой как целые числа по некоторому модулю. Простой пример последнего – линейный конгруэнтный генератор. Выберем модуль m, два числа a и b (mod m) и начальное число x1 (mod m). Затем определим последовательные числа x2, x3, x4 и т. д., вычисляемые по формуле

xn+1 = axn + b (mod m),

где a играет роль постоянного множителя текущего числа xn, а b сдвигает полученное значение на постоянную величину. Это дает следующее число последовательности, после чего операция повторяется. Например, если m = 17, a = 3, b = 5 и x1 = 1, то мы получаем последовательность

1 8 12 7 9 15 16 2 11 4 0 5 3 14 13 10,

которая затем повторяется бесконечно. Никаких явных закономерностей, заметных глазу, здесь нет. На практике, разумеется, m намного больше. Существуют математические условия, которые гарантируют, что последовательность повторяется очень и очень редко и при этом удовлетворяет разумным статистическим тестам на случайность. Например, после превращения выходной последовательности в двоичную, каждое число (по модулю m) должно появляться в ней с равной частотой в среднем. То же можно сказать и о каждой строке из нулей и единиц заданной длины, вплоть до некоторого разумного размера.

Линейные конгруэнтные генераторы слишком просты, чтобы быть надежными, поэтому были разработаны более сложные варианты. В качестве примера можно назвать вихрь Мерсенна, который придумал Макото Мацумото в 1997 году. Такой генератор наверняка есть у многих из вас, потому что он используется в десятках стандартных программных пакетов, в том числе в Microsoft Excel. В вихре Мерсенна сочетаются простые числа, благодаря которым математика упрощается, и симпатичные двоичные выражения, упрощающие вычисления. Простое число Мерсенна – это число вида 2p – 1 (где p – простое число), такое как 31 = 25–1 или 131 071 = 217–1. Простые числа Мерсенна встречаются редко, и мы даже не знаем, бесконечно ли их количество. В январе 2021 года было известно ровно 51 простое число Мерсенна, самое большое из которых равно 282 589 933–1.

В двоичном виде два простых числа Мерсенна выглядят так:

31 = 11111

131 071 = 11111111111111111

и представляют собой 5 и 17 единиц соответственно. Это позволяет цифровому компьютеру легко оперировать ими при вычислениях. Вихрь Мерсенна основан на каком-нибудь очень большом простом числе Мерсенна, обычно 219 937–1, и он заменяет числа в сравнениях матрицами над полем с элементами 0 и 1. Этот метод удовлетворяет тестам для подстрок длиной вплоть до 623 бит.

Сигнал GPS включает в себя также сигнал гораздо более низкой частоты, несущий информацию об орбите спутника, его временны́х поправках и других факторах, влияющих на статус системы. Возможно, это кажется сложным – так оно и есть на самом деле, – но современная электроника способна безошибочно выполнять чрезвычайно сложные инструкции. Для такой сложности существуют серьезные причины. Она помогает приемнику не захватить случайно какой-то другой сигнал, поскольку крайне маловероятно, что он воспроизведет такую сложную закономерность. Каждому спутнику присваивается собственный псевдослучайный код, и та же сложность гарантирует, что приемник не спутает сигнал одного спутника с сигналом другого. Помимо прочего, все спутники могут работать на одной и той же частоте, не глуша друг друга, что позволяет высвободить дополнительные частоты в нашем все более забитом радиодиапазоне. К тому же, что особенно важно для военных, противник не может вмешаться в работу системы или организовать передачу ложных сигналов. В целом псевдослучайным кодом распоряжается Министерство обороны США, так что оно может контролировать доступ к GPS.

* * *

Помимо постепенного дрейфа атомных часов, существуют и другие источники временны́х погрешностей, например небольшие отклонения формы и размера орбит спутников от расчетных. Наземная станция передает связанные с этим поправки на спутник, который в свою очередь раздает их пользователям, обеспечивая синхронность с эталонными часами Военно-морской обсерватории США. Однако наибольшую погрешность вносят релятивистские эффекты, так что вместо доброй старой ньютоновской физики нам здесь не обойтись без эйнштейновских теорий относительности{61}.

В 1905 году Эйнштейн опубликовал статью «К электродинамике движущихся тел». Он исследовал связь между ньютоновской механикой и максвелловскими уравнениями электромагнетизма и нашел две эти теории несовместимыми друг с другом. Главной проблемой здесь является то, что скорость, с которой распространяются электромагнитные волны, – скорость света – постоянна не только в неподвижной системе координат, но и в движущейся системе. Если посветить фонариком с мчащегося автомобиля, фотоны будут лететь в пространстве с той же скоростью, что и испускаемые из неподвижного автомобиля.

В ньютоновской физике скорость автомобиля следовало бы прибавить к скорости света. Эйнштейн предлагал модифицировать ньютоновские законы движения таким образом, чтобы скорость света в них была абсолютной константой. Это означало, что и уравнения для относительного движения тоже следовало модифицировать. По этой причине новая идея получила название теории относительности. Это может вводить в заблуждение, поскольку ее основная мысль состоит как раз в том, что скорость света не относительна. Много лет Эйнштейн пытался включить в свою теорию и гравитацию, что ему в конечном итоге удалось сделать в 1915 году. Эти две родственные, но отдельные теории получили известность как специальная и общая теории относительности соответственно.

Настоящая книга не учебник по теории относительности, поэтому я лишь слегка коснусь некоторых основных моментов, чтобы дать вам очень упрощенную картину того, о чем идет речь. Мы не будем вдаваться в философские нюансы, которые далеки от нашей темы.

В специальной теории относительности уравнения движения модифицированы