Логика - Александр Никифоров

2) По реке плывут 3 парохода. Навстречу им плывут другие 3 парохода. Река настолько узкая, что, пароходы разъехаться не могут. Однако на реке, как раз на месте встречи, имеется небольшой залив, вмещающий только один пароход. Могут ли и каким образом пароходы разойтись и продолжить свой путь по реке в том же порядке, в котором они встретились?

Виды простых суждений

По качеству связки («есть» или «не есть») простые суждения разделяются на утвердительные и отрицательные. «Книги стоят на полках» – утвердительное суждение; «Попугаи не живут в Сибири» – отрицательное. Следует обратить внимание на то, что в отрицательных суждениях отрицание «не» стоит перед связкой. Отрицательные суждения нельзя смешивать с утвердительными суждениями, в которых предикатом является отрицательное понятие типа «несмелый», «неумелый», «невысокий» и т.п. Когда мы слышим: «Петр не глуп», то далеко не всегда ясно, что имеется в виду – отрицательное суждение «Петр не есть глуп» или утвердительное суждение с отрицательным предикатом «Петр есть неглуп». Но это – разные суждения, отождествление которых может приводить к логическим ошибкам.

В зависимости от того, обо всем объеме субъекта идет речь в суждении или лишь о его части, суждения подразделяются на общие и частные. Это называется разделением суждений по количеству. Для указания количества суждения перед субъектом обычно ставится кванторное слово (или просто квантор): все, всякий, каждый, ни один – для общих суждений (эти слова показывают, что в суждении речь идет обо всех предметах, включенных в объем субъекта); некоторые, большинство, отдельные – для частных суждений (эти слова показывают, что в суждении речь идет лишь о некоторых предметах, входящих в объем субъекта). Иногда квантор не имеет явного языкового выражения и лишь подразумевается, но при выявлении логической структуры суждения его следует формулировать в явном виде. Пример: «Ни один кит не является рыбой» – общее суждение; «Некоторые цветы – розы» – частное.

Объединяя разделение суждений по качеству и количеству, мы получаем объединенную классификацию простых суждений, включающую в себя суждения четырех различных типов.

Общеутвердительные суждения: «Все S есть P», например: «Все люди – позвоночные».

Общеотрицательные суждения («Ни одно S не есть P»), например: «Ни один таракан не является лошадью».

Частноутвердительные суждения: «Некоторые S есть P», например: «Некоторые элементарные частицы имеют положительный заряд».

Частноотрицательные суждения: «Некоторые S не есть P», например: «Некоторые деревья не являются хвойными».

Единичные суждения, т.е. суждения, говорящие об отдельных предметах, в этой классификации относятся к общим суждениям, например, «Автор „Гулливера“ жил в Англии» рассматривается как общее, поскольку в нем речь идет обо всем объеме субъекта, подразумевается, что, так сказать, «всякий автор „Гулливера“» или «весь автор „Гулливера“» жил в Англии. Точно так же обстоит дело со всеми другими единичными суждениями.

3) Идет как-то крестьянин по дороге и причитает: «Ну что же это такое! Вечно у меня ничего нет! Вон, посмотришь, у других – было много, а стало еще больше. А у меня в кармане только несколько копеек осталось. Хоть бы кто-нибудь мне помог!» Только он эти слова произнес, а перед ним – сам черт! Все как полагается – копыта, хвост, морда отвратительная, но… улыбается. «Давай помогу, – предлагает черт крестьянину. – Видишь мост через реку? Как только перейдешь по мосту на другой берег – деньги у тебя в кармане удвоятся. Перейдешь назад – опять удвоятся, и так будут удваиваться всякий раз, как ты по мосту пройдешь. Одно только условие: каждый раз, когда ты через мост пройдешь, будешь отдавать мне 24 копейки, остальное – твое. Согласен?» Подумал крестьянин: нет ли тут подвоха какого? Черт все-таки! Потом решился: «Согласен!»

Перешел крестьянин через мост один раз – и правда, количество денег в кармане удвоилось! Бросил черту 24 копейки, повернул назад, прошел через мост второй раз – опять денег стало вдвое больше! Бросил черту его 24 копейки, повернул и пошел через мост в третий раз. Деньги опять удвоились, да только отдал он черту 24 копейки и все – ничего у него в кармане не осталось, ни единой копеечки…

Сколько же денег было в кармане у крестьянина, когда он встретился с чертом? Сколько ему нужно было иметь, чтобы хотя бы остаться при своих? Сколько нужно было иметь, чтобы нажиться на этой сделке?

Логические связки

Сложным называют суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений.

В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как элементы, из соединения которых возникают сложные структуры. Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: a, b, c, d, … Каждая такая буква представляет некоторое простое суждение. Откуда это видно? Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения – то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы говорим, что буква «a» представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это «a» представляет истину или ложь. Если под «a» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Австралии», мы подразумеваем истину; если же под «а» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Сибири», мы подразумеваем ложь. Таким образом, наши буквы «a», «b», «c» и т.д. – это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.

Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов «однако», «так как», «или» и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощущается гораздо большая связь мысли с языком, поэтому в дальнейшем мы вместо слова «суждение», обозначающего чистую мысль, часто будем использовать слово «высказывание», обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логическими связками.

Отрицание. В естественном языке ему соответствует выражение «Неверно, что…». Отрицание обычно обозначается знаком «¬», стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: «¬а» читается «Неверно, что а». Пример: «Неверно, что Земля – шар».

Следует обратить внимание на одно тонкое обстоятельство. Выше мы говорили о простых отрицательных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрицания – внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой «есть», то в этом случае мы имеем дело с простым отрицательным суждением, например: «Земля не шар». Если же отрицание внешним образом присоединяется к суждению, например: «Неверно, что Земля – шар», то такое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.

Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы «и», «а», «но», «однако» и т.п. Чаще всего конъюнкция обозначается значком «&». Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:

a & b. Пример: «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята». Это сложное суждение представляет собой конъюнкцию двух простых суждений: – «В корзине у деда лежали подберезовики» и «В корзине у деда лежали маслята».

Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз «или». Обычно она обозначается знаком «v». Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выглядит следующим образом: a v b.

Союз «или» в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое «или» – когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое «или» (часто заменяется парой союзов «либо…, либо…») – когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции – строгую и нестрогую.

Импликация. В естественном языке ей соответствует союз «если… то». Она обозначается знаком «->». Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: a -> b. Пример: «Если по проводнику проходит электрический ток, то проводник нагревается». Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй – консеквентом, или следствием. В повседневном языке союз «если… то» обычно соединяет предложения, которые выражают причинно-следственную связь явлений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе – следствие. Отсюда и названия членов импликации.