Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

Почти произвольные правила. В плоском пространстве-времени Агент находится в скучнейшем состоянии и «ничего не делает» – изображает из себя, можно сказать, «спящего агента». Но вот в неплоском (искривленном) ему есть чем заняться. Его первейшая задача – сообщать, каким окажется «расстояние» между событиями в пространстве-времени, если известны длины отрезков вдоль всех координат и времени. Двумерным примером может служить карта типа изображенной на рис. 6.5: расстояния, измеряемые на ней вдоль параллелей, надо умножать на поправочный коэффициент, чтобы получить истинное расстояние вдоль параллели на глобусе, причем этот коэффициент меняется при перемещении по карте. Близкий к этому пример показывает, что и теорему Пифагора тоже надо подправлять: в треугольнике на рис. 6.4 все стороны равны, поэтому квадрат одной уж точно не равен сумме квадратов двух других. Гравитация, наличие которой есть то же самое, что отличие пространства-времени от плоского, прячется в предписаниях по вычислению «расстояний» в пространстве-времени.

Агент заведует расстояниями

Вблизи планеты Земля пространство-время не плоское – из-за чего здесь так удачно удерживаются атмосфера, Луна и многое другое, включая нас самих. Это значит, что «расстояния» вычисляются несколько иначе, чем в плоском пространстве-времени, и абвгдежзик-таблица не может иметь в точности «плоский» вид из нулей, трех единиц и одной минус единицы. Она и не имеет. Спящий Агент начинает просыпаться: он сообщает, что квадрат длины вдоль радиуса войдет в ответ с коэффициентом не совсем единица, а 1,00000000139; а квадрат промежутка времени – с коэффициентом не совсем минус единица, а –0,99999999861. Отличия от единицы и минус единицы исчисляются миллиардными долями. Вся гравитация планеты, требующая для своего преодоления ракету высотой в сотню метров, доверху залитую топливом, «умещается» в них[130]. Эти числа – не сантиметры, не килограммы и не секунды; это даже не доли от скорости света. Это «голые» числа, такие же, как пять, минус корень из двух или пи пополам, – не обремененные никакими единицами измерения физических величин. (Заодно это способ сообщить инопланетянам, насколько сильная гравитация у нас на планете; ускорение свободного падения 9,8 м/с2 для этой цели не годится из-за полной неясности по поводу метра и секунды.)

В окрестности черной дыры Агент позволяет себе намного больше. Он использует все буквы из таблицы, чтобы диктовать, как исчислять «расстояния» в пространстве-времени, если известны промежутки по каждой из выбранных координат; например, промежуток времени (пр. вр.) вносит в это «расстояние» вклад г · (пр. вр.)2, где буква г совсем уже не равна минус единице (а, например, имеет значение –2/3 на радиусе БУКО и –1/2 на половине этого радиуса – там, где проходит неустойчивая круговая орбита света). А когда под горизонтом черной дыры «меняются местами пространство и время», это только то и означает, что минус перебрался оттуда, где время, туда, где радиус, – Агент практически взбесился. А ведь он еще и не ограничивается расстановкой коэффициентов перед квадратами. Например, буква к располагается в его «кодовой таблице» в первой строке и четвертом столбце:

Четвертый столбец отвечает времени, а первая строка – выбранному «первому» направлению в пространстве. Берем промежуток времени между событиями, умножаем его на отрезок вдоль первого направления (условно – «ширину») и добавляем результат ко всему остальному с нужным коэффициентом: 2к · (ширина) · (пр. вр.); двойка здесь появляется потому, что буква к, как видно, присутствует в таблице два раза. Из-за буквы к, таким образом, «смешиваются» длина и промежуток времени. Аналогично и с другими буквами; к сильному удивлению Пифагора, квадрат «расстояния» в пространстве-времени включает смешанные произведения временного отрезка на пространственные. Финальный же шок для Пифагора – что из-за букв д, е, з смешивание возникает и в пространстве. Скажем, буква д смешивает первое и второе направления в пространстве: «ширину» надо умножить на «глубину», а потом умножить еще на 2д и прибавить ко всему остальному. Так в дело идут все буквы, какие есть у Агента.

Агента, который такое себе позволяет, вполне могли называть не-пифагоровым, но по историческим причинам называют не-эвклидовым, для простоты написания – неевклидовым[131].

Агент гравитации – метрика пространства-времени

Десять букв абвгдежзик (десять чисел, заданных в каждой точке пространства-времени) собирательно называются метрикой, для особой торжественности – метрикой пространства-времени. А чтобы не путать «расстояние» между событиями в пространстве-времени с обычным расстоянием (между точками в пространстве), ему дали отдельное имя: интервал. Метрика (эти самые абвгдежзик) задает правило, по которому вычисляется интервал в пространстве-времени. Агент, таким образом, показал свое настоящее лицо: это метрика пространства-времени. Гравитационное поле, другими словами, – это метрика пространства-времени. В плоском пространстве-времени метрика имеет предельно скучный вид из трех единиц, одной минус единицы и нулей (и называется плоской), из-за чего интервал и определяется «по Пифагору с одним минусом» (и никакой гравитации в действительности нет). В искривленном же пространстве-времени все десять букв абвгдежзик из метрики могут меняться от точки к точке в пространстве и от одного момента времени к другому, поэтому рецепт для вычисления интервала при заданной метрике пригоден не для любых двух событий в пространстве-времени, а для очень близких. Настолько близких, что при путешествии между ними не успевает сколько-нибудь серьезно измениться значение ни одной из букв абвгдежзик (этому «не успевает» можно придать строгий математический смысл).

На предыдущей прогулке, однако, мы обращались с искривленным пространством-временем, широко пользуясь параллельным переносом. Агент, желающий распоряжаться всем самостоятельно, должен уметь строить этот параллельный перенос. Тут-то и оказывается, что определить параллельный перенос ничего не стоит тому, кто знает все расстояния (к которым мы сейчас отнесем и интервал, чтобы каждый раз не добавлять «и интервал»)[132]. Дело в том, что если известны все расстояния, то известны и все углы, просто потому, что из знания всех сторон в треугольнике следует знание всех его углов. (Это работает, с минимальными поправками, и в том случае, когда вместо расстояния в пространстве фигурирует интервал в пространстве-времени.) Поэтому указания Агента по поводу параллельного переноса звучат обманчиво просто: переносите вдоль каждой кривой в пространстве-времени так, чтобы сохранялись все длины и все углы. Этим полностью определяются правила параллельного переноса вдоль любой кривой.

Но в требовании «чтобы сохранялись» есть