Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Говоря о насмешках, которым подвергалась логика, нельзя не вспомнить слова одного из видных современных философов и специалистов по основаниям математики австрийца Карла Поппера (р. 1902){167}:

Существуют три уровня понимания доказательства. На самом низком уровне у вас появляется приятное ощущение, что вы поняли ход рассуждений. Средний уровень достигается, когда вы можете воспроизвести доказательство. На верхнем, или высшем, уровне вы обретаете способность опровергнуть доказательство.

Оливер Хевисайд, весьма пренебрежительно относившийся к постоянным заботам математиков о строгости, иронически заявил: «Логика непобедима, потому что одолеть ее можно только с помощью логики».

Феликс Клейн, бывший на протяжении первой четверти XX в. признанным главой мирового центра математики — математического института Гёттингенского университета, — не занимался специально проблемами оснований математики, однако из истории развития этой науки он извлек кое-какие выводы. В своей книге «Элементарная математика с точки зрения высшей»{168} (1908) Клейн так описывал развитие математики:

Математика развивалась подобно дереву, которое разрастается не путем тончайших разветвлений, идущих от корней, а разбрасывает свои ветки и листья вширь, распространяя их зачастую вниз, к корням. В основных исследованиях в области математики не может быть окончательного завершения, а вместе с тем и окончательно установленного первого начала…

Аналогичное мнение, хотя и несколько по иному поводу, выразил Пуанкаре: не существует решенных проблем, существуют только проблемы более или менее решенные.

Математики поклонялись золотому тельцу — строгому, одинаково приемлемому для всех доказательству, истинному во всех возможных мирах, искренне веря, что это и есть бог. Теперь наступило прозрение: математики поняли, что их бог — ложный. Но истинный бог так и не открылся, и теперь им не оставалось ничего другого, как гадать, существует ли он вообще. «Пророк Моисей», который мог бы пролить на них свет истины, так и не появился. Математикам оставалось лишь терзаться не находящими ответа вопросами.

У некоторых вполне разумных критиков оснований математики сильное раздражение вызывали нюансы, по поводу которых спорили те, кто занимался основаниями. Если математика в конечном счете основана на интуиции, спрашивал один из таких критиков Имре Лакатош (или Лакатос; 1922-1974), то почему мы должны идти все дальше и дальше?

Почему бы нам не остановиться раньше и не заявить, что «окончательным критерием допустимости того или иного метода должен служить вопрос, является ли он интуитивно убедительным»… Почему честно не признать потенциальную возможность ошибки в математическом доказательстве и не попытаться защитить достоинство знания, возможно в чем-то и ошибочного, от циничного скептицизма, вместо того чтобы обманывать себя тем, будто мы всегда можем искусно заштопать последнюю прореху на ткани нашей «первичной» интуиции?

По поводу относительной ценности интуиции и доказательства уместно привести следующую притчу. В кабинете одного врача над дверью висела подкова. Уходя после приема, пациент спросил врача, принесла ли ему подкова удачу в жизни и в работе. «Нет, — ответил врач, — я не верю в подобные предрассудки. Но все же подкова помогает».

Артур Стэнли Эддингтон заметил однажды: «Доказательство — это идол, во имя которого математики терзают себя». Почему же математики идут на такие муки ради строгого доказательства? Уместно спросить: чем, собственно, занимаются математики, ставящие превыше всего железную логику, если они не знают, непротиворечива ли их наука, и, в частности, не могут прийти к единому мне-иию относительно того, что такое правильное доказательство? Не следует ли им стать полностью безразличными к строгости, поднять руки вверх и заявить, что математика как свод твердо установленных истин не более чем иллюзия? Не должны ли они оставить дедуктивное доказательство и прибегать лишь к убедительным, интуитивно здравым аргументам? Ведь используют же интуитивные соображения физические науки, которые даже там, где они применяют математику, не придают особого значения пристрастию математиков к строгости. Но отказ от строгости вряд ли показан математике. Всякий, кто знает, какой вклад внесла математика в сокровищницу человеческого мышления, не станет жертвовать понятием доказательства.

Нельзя не признать важного значения логики для математики. Если интуиция — господин, а логика — всего лишь слуга, то это тот случай, когда слуга обладает определенной властью над своим господином. Логика сдерживает необузданную интуицию. Хотя, как мы и признали, интуиция играет в математике главную роль, все же сама по себе она может приводить к чрезмерно общим утверждениям. Надлежащие ограничения устанавливает логика. Интуиция отбрасывает всякую осторожность — логика учит сдержанности. Правда, приверженность логике приводит к длинным утверждениям со множеством оговорок и допущений и обычно требует множества теорем и доказательств, мелкими шажками преодолевая то расстояние, которое мощная интуиция перемахивает одним прыжком. Но на помощь интуиции, отважно захватившей расположенное перед мостом укрепление, необходимо выслать боевое охранение, иначе неприятель может окружить захваченную территорию, заставив нас отступить на исходные позиции.

Интуиция может и обмануть нас. На протяжении большей части XIX в. математики — в том числе Коши, одним из первых ставший насаждать математическую строгость, — считали, что любая непрерывная функция имеет производную. Но Вейерштрасс поразил математический мир, продемонстрировав непрерывную функцию, ни в одной точке не имеющую производной.{169} Такая функция недоступна интуиции. Математическое рассуждение не только дополняет интуицию, но и подтверждает, исправляет, а в иных случаях и превосходит ее.

То, что дают математикам логические рассуждения, можно пояснить с помощью аналогии. Предположим, фермер купил участок непроходимого леса, намереваясь расчистить его и заняться земледелием. Вырубив лес на небольшом пятачке, он заметил рыскавших в лесу диких зверей. Опасаясь их нападения, фермер вырубил лес, примыкавший к уже расчищенному участку, и звери отступили вместе с лесом. Теперь их можно было видеть чуть дальше — там, где на границе расчищенного участка стеной поднимался девственный лес. Фермер снова взялся за топор и т.д. до бесконечности. Каждый раз он расчищал все новый участок земли — звери отступали к кромке нетронутого леса. Спросим себя: чего же достиг фермер? По мере того как увеличивался свободный от леса участок земли, фермер обретал все большую безопасность, по крайней мере если он работал в центре расчищенного участка. Но звери не исчезли, они лишь отступили и когда-нибудь смогут неожиданно наброситься на фермера и растерзать его, хотя по мере увеличения размеров расчищенного участка фермер обретал все большую относительную безопасность. Аналогичным образом степень уверенности, с какой мы можем пользоваться центральным ядром математических знаний, возрастает по мере того, как логика применяется для выяснения то одной, то другой проблемы в основаниях математики. Иначе говоря, доказательство гарантирует нам относительную уверенность в правоте. Мы окончательно убеждаемся в правильности той или иной теоремы, если нам удастся доказать ее на основе разумных утверждений о числах и геометрических фигурах, которые интуитивно более приемлемы, чем доказываемая теорема. По словам Реймонда Луиса Уайлдера, доказательство — это проверка идей, подсказанных интуицией.

К сожалению, доказательства одного поколения воспринимаются другим поколением как ворох логических ошибок. Один из основоположников современной математики в США, Элиаким Гастингс Мур (1862-1932), выразил (1903) эту мысль так: «Любая наука, включая логику и математику, есть продукт своей эпохи. Наука воплощена в своих идеалах не в меньшей мере, чем в результатах». Век строгости короток — это всего лишь один день. В наше время понятие строгости зависит и от того, к какой школе принадлежит математик. Насколько можно судить, самого Уайлдера вполне устроило бы доказательство, не содержащее явных противоречий и к тому же полезное для математики. Например, он не стал бы возражать против понятия гипотезы континуума в качеству аксиомы. Не придавая особого значения доказательству, Уайлдер критиковал различные школы мышления за разобщенность. Разве не напоминает приверженность догматам одной школы в ущерб всем остальным фанатизм религиозных сектантов, провозглашающих своего бога истинным и отвергающих все остальные секты как заблудшие?