Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Герман Ганкель, Рихард Дедекинд и Карл Вейерштрасс считали математику творением человека. В письме Генриху Веберу Дедекинд утверждал: «По-моему, то, что мы понимаем под числом, само по себе есть не класс, а нечто новое…. созданное нашим разумом. Мы божественная раса и обладаем… способностью творить». Ту же мысль Вейерштрасс выразил такими словами: «Истинный математик всегда поэт». Ученик Рассела философ Людвиг Виттгенштейн (1889-1951) считал, что математик — изобретатель, а не открыватель. Все эти и многие другие мыслители рассматривали математику как нечто далеко выходящее за пределы эмпирических данных или рациональных дедуктивных умозаключений. В пользу их мнения свидетельствует хотя бы тот факт, что такие элементарные понятия, как иррациональные и отрицательные числа, не являются ни дедукциями из эмпирических данных, ни объектами, заведомо существующими в некотором внешнем мире.

Герман Вейль с большой иронией относился к вечным истинам. В книге «Философия математики и естественных наук»[93]* он писал:

Гёделю с его истовой верой в трансцендентальную логику хочется думать, что наша логическая оптика лишь немного не в фокусе, и надеяться, что после небольших коррекций мы будем видеть четко, и тогда всякий согласится, что мы видим верно. Но того, кто не разделяет этой веры, смущает высокая степень произвола в системе Z [Цермело] или даже в системе Гильберта… Никакой Гильберт не сможет убедить нас в непротиворечивости на вечные времена. Мы должны быть довольны, если какая-нибудь простая аксиоматическая система математики пока выдерживает проверку наших сложных математических экспериментов. Если на более поздней стадии появятся расхождения, то мы еще успеем изменить основания.

Лауреат Нобелевской премии американский физик и философ Перси Уильямс Бриджмен в своей книге «Логика современной физики» (1946) решительно отвергает существование объективного мира математики: «Это общеизвестная истина, очевидная с первого взгляда, что математика — изобретение человека». Теоретическая наука — игра математического воображения. Все, кто считал математику творением человека, утверждали также, что математика испытала на себе сильное влияние тех культур, в рамках которых она развивалась. Математические «истины» в такой же мере зависимы от людей, как восприятие цвета или английский язык. Лишь относительно широкое принятие математических доктрин — по сравнению с политическими, экономическими и религиозными — создает иллюзию, будто математика представляет собой свод истин, объективно существующих вне человека. Математика может существовать независимо от любого человека, но не от культуры, которая его окружает. Перефразируя Германа Вейля, можно сказать, что математика не отдельное техническое достижение, а неотъемлемая часть человеческого существования во всей его общности — и в этом она находит свое обоснование.

Тех, кто разделяет взгляд на математику как на творение человека, по существу, можно было бы назвать кантианцами, ибо они усматривают источник математики в организующей силе человеческого разума. Но эти современные кантианцы подчеркивают, что математика связана не с морфологией или физиологией мозга, а с его деятельностью. Разум организует, используя эволюционные методы. Творческая деятельность разума постоянно порождает все более новые, высшие формы мышления. В математике человеческий разум отчетливо видит, что он способен создать совокупность знаний, которые ему интересны или полезны. Область его созидательной деятельности не замкнута. Формулируемые разумом понятия применимы как к существующим, так и к вновь возникающим областям знания. Разум обладает способностью возводить структуры, охватывающие опытные данные и упорядочивающие их. Источник математики лежит в прогрессивном развитии самого разума.

Острые споры о природе математики и потере ею прежнего статуса свода общепринятых незыблемых истин, бесспорно, свидетельствует в пользу концепции математики, созданной человеком. Как сказал Эйнштейн, «каждый, кто осмеливается взять на себя роль судьи во всем, что касается Истины и Знания, терпит крушение под смех богов».

По иронии судьбы, мыслители Века разума, рассматривая математику как пример способности человека мыслить и получать истины, без тени сомнения утверждали, что разум разрешит все человеческие проблемы. Современные мыслители, даже если некоторые из них разделяют веру в могущество разума, заведомо не считают математику эталоном или парадигмой. Такой поворот событий не так далек от интеллектуальной катастрофы. Математика по-прежнему остается самой длительной и последовательной попыткой человека создать точное и эффективное мышление, а достижения математики по-прежнему служат мерилом того, на что способен человеческий разум. Математика устанавливает верхний предел, которого мы можем лишь надеяться достичь во всех рациональных областях. К сожалению, споры относительно того, что такое «настоящая» математика, не прекращаются. Именно поэтому Гильберт так страстно стремился восстановить истинность в смысле объективных, достоверных умозаключений. В его статье 1925 г. «О бесконечном» говорится: «Где же еще искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечки?» ([50], с. 349.)

Озабоченность Гильберта судьбами математики явственно слышится в его докладе «Проблемы обоснования математики» на Международном математическом конгрессе в Болонье (1928):

Что было бы с истинностью наших знаний вообще и как обстояло бы дело с существованием и прогрессом науки, если бы в математике не было достоверной истины? В наше время нередко даже в специальных изданиях и в открытых докладах высказывается сомнение и уныние по поводу науки; это есть в некотором роде оккультизм, который я считаю вредным.

Непрестанные, нескончаемые поиски абсолюта могут показаться менее привлекательными, чем реальное достижение абсолюта, но Гете уже давно усмотрел в этих поисках спасение человеческого рода:

Wer immer strebend sich bemühtDen können wir erlösen.[Спасти можно лишь того,Кто неустанно борется за свое спасение.]

Не будучи столь уверенным в существовании абсолютных истин, один из выдающихся математиков современности Андре Вейль утверждает, что занятия математикой необходимо продолжать, хотя математика теперь уже не то прежнее величественное творение человеческой мысли. Вот что он говорит:

Для нас, чьи плечи ноют под тяжестью наследия греческой мысли, кто идет по стопам героев эпохи Возрождения, цивилизация немыслима без математики. Подобно постулату о параллельности, постулат о том, что математика выживет, утратил свою «очевидность». Но если первый постулат перестал быть необходимостью, то без второго мы жить бы не смогли.

Будущее математики никогда не внушало особых надежд. Природа математики никогда не была вполне понятной. Тонкий анализ очевидного привел к нескончаемой цепи осложнений. Но математика продолжает бороться с проблемами, возникающими в ее основаниях. Как сказал Декарт, «я буду продолжать до тех пор, пока не установлю нечто несомненно истинное или по крайней мере не устраню все сомнения в том, что ничего несомненно истинного не существует».

Если верить Гомеру, боги обрекли царя Коринфа Сизифа на тяжкое наказание после смерти: он должен вкатывать на гору огромный камень; но как только камень почти достигает вершины, он начинает скатываться вниз, к подножию горы. Сизиф не мог питать никаких иллюзий, что его напрасный труд когда-нибудь завершится. Математики почти инстинктивно мобилизуют всю свою волю и мужество, чтобы дополнить и укрепить основания своей науки. Их борьба также может оказаться нескончаемой, а труд — напрасным. Но современные Сизифы не сдаются.

XV

Авторитет природы

Я возношу молитву, твердо зная,

Что не предаст Природа никогда

Ее так верно любящего сердца.

Для получения новых результатов математики могут избрать любое из множества соперничающих направлений. Поскольку внутренних критериев, позволяющих отдать предпочтение одному направлению перед другим или как-то обосновать принятое решение, не существует, математик вынужден при выборе направления руководствоваться внешними соображениями. Наиболее важным из них по-прежнему остается традиционный и наиболее объяснимый довод в пользу создания новой и развития уже существующей математики — ее ценность для других наук. Ставшую ныне очевидной неопределенность в вопросах, связанных с истинными основаниями математики, и зыбкость ее логики можно в какой-то мере игнорировать (хотя и не исключить полностью), если акцентировать внимание на внешних приложениях математики. Последуем же завету Эмерсона и «построим в материи дом для ума». Из априорных соображений невозможно установить, будут ли получаемые математические теоремы непосредственно применимы, или же они, что тоже неплохо, в сочетании с разумными физическими принципами приведут к физически значимым результатам. Приложения служат своего рода практическим критерием, которым мы проверяем математику. Теоремы, приводящие к правильным результатам, с каждым разом можно применять все увереннее. Например, если мы, постоянно используя аксиому выбора, получаем подтверждаемые физическим экспериментом результаты, то сомнения в приемлемости этой аксиомы если и не рассеятся полностью, то по крайней мере уменьшатся.