Математика. Утрата определенности. - Морис Клайн

Дьедонне мог бы привести еще один пример: лейбницевский подход к дифференциальному и интегральному исчислению (гл. VII). После всех критических замечаний, выпавших на долю понятия бесконечно малой величины в XVIII в., новая формулировка (нестандартный анализ, гл. XII) придала ему строгий смысл, согласующийся с логистическим, формалистским и теоретико-множественным вариантами оснований математики.

Помимо тех, кто, подробно бурбакистам, преисполнен оптимизма и считает устранимым любое противоречие, могущее возникнуть в основаниях математики, среди математиков есть и такие, кто верит в существование единого непротиворечивого, вечного ядра математики, которое может быть применимым или неприменимым к физическому миру. По мнению этих математиков, не все идеи, образующие вечное ядро математики, могут быть известны человеку, тем не менее эти идеи существуют, — так и несогласованность и неопределенность доказательства обусловлены только ограниченностью человеческого разума. Имеющиеся ныне разногласия между математиками не более чем временное препятствие, которое постепенно будет преодолено.

Некоторые из мыслителей считают, что математика настолько глубоко внедрилась в человеческий разум (в этом отношении их можно считать кантианцами), что вопрос о ее непротиворечивости отпадает сам собой. Так, Уильям Роуан Гамильтон, хотя он и ввел объекты (кватернионы), которые породили сомнение в соответствии арифметики физическому миру, в 1836 г. высказался вполне в духе Декарта:

Такие чисто математические науки, как алгебра и геометрия, являются науками чистого разума, не подкрепляемыми опытом и не получающими от него помощи, изолированными или могущими быть изолированными от всех внешних и случайных явлений… Вместе с тем это идеи, рожденные внутри нас, обладание которыми в сколько-нибудь ощутимой степени есть следствие нашей врожденной способности, проявление человеческого начала.

В докладе, прочитанном в 1883 г. на заседании Британской ассоциации поощрения науки, один из крупнейших алгебраистов XIX в. Артур Кэли заявил: «Мы обладаем априорными знаниями, не зависящими не только от того или иного опыта, но и от всякого опыта вообще… Эти знания составляют вклад нашего разума в интерпретацию опыта».

В то время как одни (например, Гамильтон и Кэли) представляли математику как «внедрившуюся» в человеческий разум, другие считали, что она существует в мире, лежащем вне человека. Трудно понять, как могли просуществовать до начала XX в. представления о математике как о едином реальном мире математических идей. Корни таких представлений восходят к Платону (гл. I). Эти представления неоднократно возрождали, в особенности Лейбниц, проводивший различия между истинами разума и истинами факта (последние остаются истинными во всех возможных мирах). Даже Гаусс, первым по достоинству оценивший неевклидову геометрию, был убежден в абсолютной истинности арифметики (числа) и анализа (гл. IV).

Веру в существование объективного реального мира математики разделял один из искуснейших аналитиков XIX в. Шарль Эрмит (1822-1901). В письме математику Томасу Яну Стильтьесу Эрмит утверждал:

Я убежден в том, что числа и функции анализа не являются произвольным продуктом нашего духа. Я верю, что они лежат вне нас с той же необходимостью, как предметы объективной реальности, а мы обнаруживаем или открываем и исследуем их так же, как это делают физики, химики и зоологи.{171}

По другому случаю Эрмит сказал: «В математике мы больше слуги, чем господа».

Многие из математиков XX в., несмотря на споры по поводу оснований, заняли ту же позицию. Создатель теории множеств и трансфинитных чисел Георг Кантор считал, что математики не изобретают понятия и теоремы, а открывают их. Математические понятия и теоремы существуют независимо от человеческого мышления. Себя самого Кантор считал репортером и секретарем, записывающим эти понятия и теоремы. Годфри Гарольд Харди, скептически относившийся к предлагаемым человеком доказательствам, утверждал в 1929 г.:

Мне кажется, что ни одна философия не может вызвать сочувствие у математика, если она так или иначе не признает незыблемости и безусловной годности математической истины. Математические теоремы истинны или ложны, и их истинность или ложность абсолютно не зависит от того, известны ли нам эти теоремы. В некотором смысле математическая истина является частью объективной реальности.

Аналогичные взгляды Харди выразил и в своей книге «Апология математика» [39]*:

Свою позицию я сформулирую догматически во избежание малейшей неясности. Я считаю, что математическая реальность лежит вне нас, что наша функция заключается в открытии и наблюдении ее и что теоремы, которые мы доказываем и высокопарно называем своими «творениями», в действительности являются не более чем записями наших наблюдений.

Выдающийся французский математик XX в. Жак Адамар (1865-1963) утверждал в работе «Исследование психологии процесса изобретения в области математики», что, «хотя истина еще не известна нам, она предсуществует и неизбежно подсказывает нам путь, которым мы должны следовать» [70].

Гёдель также разделял мнение о существовании трансцендентального мира математики. Что касается теории множеств, то он считал вполне допустимым рассматривать все множества как реальные объекты:

Мне кажется, что допущение о существовании таких объектов столь же законно, как и допущение о существовании физических объектов, и что имеется не меньше оснований верить в их существование. Они необходимы для получения удовлетворительной теории математики в том же смысле, в каком физические тела необходимы для удовлетворительной теории наших чувственных восприятий, и в обоих случаях невозможно интерпретировать утверждения, которые мы хотим высказать об этих сущностях, как утверждения о «данных», т.е., в последнем случае, о реальных чувственных восприятиях.

Некоторые из приведенных выше высказываний принадлежат ученым двадцатого столетия, которых не очень беспокоили основания математики. Еще более удивительно, что и кое-кто из лидеров различных школ в основаниях математики, например Гильберт, Алонзо Черч и члены группы Бурбаки, утверждали, что математические понятия и свойства существуют в некотором объективном смысле и могут быть постигнуты человеческим разумом. Таким образом, математическую истину открывают, а не изобретают, и в результате открытия возникает не математика, а человеческое знание математики.

Людей, разделяющих подобные взгляды, часто называют платонистами. Хотя Платон и верил в то, что математика существует в некотором идеальном мире независимо от людей, его учение содержит много несовместимого с современными воззрениями; поэтому здесь апелляция к платонизму не столько помогает, сколько вводит в заблуждение.

Все утверждения о существовании объективного, единого ядра математики ничего не говорят о том, где же находится математика. Они указывают лишь, что математика существует в некотором «потустороннем» мире, своего рода воздушном замке, а человек лишь открывает ее. Аксиомы и теоремы отнюдь не только творения человеческого разума — их скорее можно сравнить с сокровищами, скрытыми в недрах, которые можно извлечь на поверхность, если запастись терпением и копать все глубже и глубже. Но существование аксиом и теорем не зависит от человека, как не зависит от него, например, существование планет.

Является ли математика коллекцией алмазов, спрятанных в недрах Вселенной и постепенно извлекаемых на поверхность, или коллекцией искусственных драгоценных камней, созданных человеком и сверкающих так ярко, что они ослепили тех математиков, кто уже отчасти был ослеплен гордостью за свои творения?

Если существует мир сверхчувственных и трансцендентально абсолютных объектов и если наши логические и математические утверждения представляют собой всего лишь записи наблюдений этих объектов, то не существуют ли противоречия и ложные утверждения в том же смысле, в каком существуют истинные утверждения? Сорные семена ложности и противоречивости могут давать столь же пышные всходы, как и семена истинные и прекрасные. Дьявол сеет свои семена и собирает жатву наряду с богом истины. Разумеется, платонисты могли бы возразить, что ложные утверждения и противоречия возникают только из-за неадекватности усилий, прилагаемых человеком для достижения истины.

Иной точки зрения (согласно которой математика — это только продукт человеческого мышления) придерживаются интуиционисты. Эта точка зрения восходит к Аристотелю. Однако если одни интуиционисты считают, что истина гарантируется разумом, то другие утверждают, что математика представляет собой не незыблемый свод непреложных знаний, а творение человеческого разума, которому свойственно ошибаться. Классическое высказывание на эту тему, появившееся задолго до современных споров, мы находим в «Мыслях» Паскаля: «Истина — слишком тонкая материя, а наши инструменты слишком тупы, чтобы ими можно было прикоснуться к истине, не повредив ее. Достигнув истины, они сминают ее и отклоняются в сторону, скорее ложную, нежели истинную».{172} По утверждению главы интуиционистов Аренда Рейтинга, в наше время никто не может говорить об истинной математике, т.е. о математике как едином своде правильных знаний.