Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике. - Gustavo Pineiro

∞ + 1 переходов. Что означает «∞ + 1»?

Кантор нашел случаи, в которых процесс аннулировался на этапе ∞ + 2, или ∞ + 3, или ∞ + ∞, но не мог объяснить эти символы. Точнее, признать их тем, чем они были на самом деле, ему мешал уже упомянутый психологический барьер.

«[...] по воле всемогущего Бога меня озарили самые удивительные, самые неожиданные идеи о теории ансамблей и теории чисел. Скажу больше, я нашел то, что бродило во мне в течение долгих лет».

В этом письме Дедекинду Кантор сообщает: в 1882 году он понял, что символы ∞, ∞ + 1, ∞ + 2, ..., ∞ + ∞, ∞ + ∞ + 1, ... являются не чем иным, как трансфинитными числами, то есть такими, которые позволяют считать за пределами натуральных чисел. В первую очередь, он назвал их ординальными и, чтобы подчеркнуть, что они являются актуально бесконечными, символ оо, ассоциирующийся с потенциальной бесконечностью, заменил греческой буквой ω.

Что такое ординальные числа? Как утверждал Кантор в своей работе 1883 года, существуют два принципа порождения ординальных чисел. Первый состоит в том, что за каждым ординальным числом непосредственно идет следующее. Согласно второму принципу, если есть последовательность ординальных чисел, то и за ней сразу же идет ординальное число.

Первое ординальное число — 0, за ним идет, разумеется, 1, потом 2, 3 и так далее. Ординальные числа 0, 1,2, 3,... являются конечными, или, как говорил Кантор, числами «первого класса».

По второму принципу порождения, за последовательностью 0, 1,2, 3, 4,... стоит ординальное число: имеется в виду ω, первое трансфинитное ординальное число. Затем следуют ω + 1, ω + 2, ω + 3, ...; дальше, опять применив второй принцип порождения, мы получим новое ординальное число ω + ω, а после него — ω + ω + 1, ω + ω + 2,...

Резюмируя, ряд ординальных чисел начинается так: 0,1,2, 3,...,ω,ω + 1,ω + 2,...,ω + ω+1,ω + ω + 2,...,ω + ω + ω + 1,...,где многоточие обозначает бесконечное количество членов.

Теперь вернемся к ординалу ω и подумаем о множестве всех предшествующих ему чисел, то есть обо всех ординальных числах меньше ω. Это множество состоит из чисел 0, 1,2, 3,..., и поскольку оно счетное, Кантор утверждает, что ω — ординал «второго класса». У ординалов первого класса конечное количество предшественников, а у второго класса — счетное. Ординальное число, например ω + 1, всегда будет числом второго класса, потому что ему предшествуют числа 0,1,2,3,..., ω, образующие счетное множество. Ординальные числа ω, со + 1, ω + 2, ..., ω + ω+ 1, ω + ω + 2,..., ω + ω + ω + 1,... относятся ко второму классу. Теперь обратимся к последовательности всех ординалов второго класса: согласно второму принципу порождения, сразу же за ними идет еще одно ординальное число. Обычно оно обозначается символом Ω. Возникает вопрос: к какому классу относится Ω?

В статье 1883 года Кантор смог доказать, что все числа, предшествующие Ω, то есть и первого, и второго классов, составляют несчетное множество. Следовательно, число Ω не принадлежит ко второму классу, а является первым ординалом «третьего класса». Еще большую важность имеет тот факт, что Кантор доказал: множествам первого и второго классов соответствует кардинальное число, идущее непосредственно за кардинальным числом натуральных чисел.

Обратим внимание на изящество системы Кантора (см. рисунок): множество ординальных чисел первого класса счетное, а его кардинальное число — самое маленькое из всех бесконечных кардинальных чисел. Если мы добавим числа второго класса, то получим следующее непосредственно за ним кардинальное число. Если добавим числа третьего класса — следующее и так далее для четвертого, пятого и других классов. В 1883 году у этих кардинальных чисел еще не было отдельного названия. Кантор дал им имя в 1895 году.

В «Основаниях общей теории многообразий» математик писал, что всегда предполагал существование кардинальных чисел, больших, чем у вещественных чисел, но до того момента ему не удавалось найти никакого примера. Эта система ординалов («изящная спираль ординалов и кардиналов», по определению историка Хосе Феррейроса) позволила ему наконец доказать существование бесконечного числа уровней бесконечности.

Где в этой системе располагается кардинальное число вещественных чисел? Как мы видели, чтобы получить кардинальное число, идущее непосредственно за кардинальным числом натуральных чисел, надо прибавить первый класс ко второму. Напомним также: континуум-гипотеза гласит, что это кардинальное число вещественных чисел. Это значит, что если бы континуум-гипотеза была верной, то вся наша теория обрела бы элегантную последовательность, так как первый класс дал бы нам кардинальное число натуральных чисел, а второй класс — вещественных чисел. Сделав это открытие, Кантор понял, что континуум-гипотеза — краеугольный камень его теории, и стал одержим ее доказательством. Однако это ему не удалось, и, возможно, разочарование от неудачи стало одной из причин депрессии, поразившей его в мае 1884 года. Кантор не дожил до того момента, когда смог бы удостовериться, верна гипотеза или нет.

Одно из возражений, предъявленных Кантору тогда, состояло в том, что ординальных чисел просто-напросто не существует.

Каждый раз, прибавляя целый класс ординальных чисел, мы переходим к следующему кардинальному.

В ответе Кантор опирался на свою философию математики, в соответствии с которой любой объект, получивший определение от математика, существует по той простой причине, что его определили, с одним лишь условием, что это определение не должно вести к логическим противоречиям. Но верно ли то, что свойства ординальных чисел не ведут к противоречиям? Вернемся ко второму принципу порождения: если дана любая последовательность ординальных чисел, то всегда будет еще одно ординальное число, большее, чем все ее составляющие. В свете этого принципа, если мы берем последовательность, состоящую из всех ординальных чисел, то должно быть еще одно ординальное число, большее, чем все они. Но как может существовать еще один ординал, если все они уже входят в последовательность? Мы сталкиваемся с логическим противоречием. Кантор обнаружил его в 1882 году.

Дабы разрешить это противоречие, в статье 1883 года он ввел третий принцип порождения ординалов, по которому второй принцип не может применяться к последовательности всех ординальных чисел. Это была своеобразная «заплатка», чтобы устранить парадокс.

Логические противоречия в математической теории — всегда плохой признак, так как они свидетельствуют об ошибке в самом ее основании. И хотя в данном случае парадокс можно было решить, как это Кантор и сделал, добавив третий принцип, само его появление служит сигналом тревоги. Однако ученый не выказал волнений по этому поводу — напротив, принял это с облегчением и радостью.

В одной из статей, опубликованных в Acta Mathematica, Кантор предлагал определение множества, описывающего последовательные переходы. При первом переходе имеется отрезок, который мы определим как множество всех вещественных чисел между 0 и 1. При втором переходе отрезок делится на три равные части и центральная (вторая строка на рисунке) убирается. При третьем переходе мы повторяем этот процесс для каждой из оставшихся частей, делим их натрое, убираем среднюю часть и так далее. Канторово множество состоит из всех точек, оставшихся после бесконечного количества переходов. На первый взгляд может показаться, что не осталось ни одной точки, однако Кантор смог доказать существование взаимно однозначного соответствия между троичным множеством и множеством всех вещественных чисел. Другими словами, исходя из понятия мощности, после бесконечных переходов останется столько точек, сколько их существует на всей прямой.

Уже говорилось, что Святой Августин и ряд богословов считали бесконечность исключительно божественной характеристикой, а попытки человеческого разума понять ее — ересью. Эта мысль терзала Кантора, который всегда был религиозен. Но парадокс — таким, как понимал его он, — освобождал его от этого груза.

Кантор разделил бесконечное на два уровня: нижний относится к трансфинитному и включает в себя множества натуральных, вещественных, ординальных чисел класса I, II, III,... и все понятия его теории, за исключением множества всех ординальных чисел. Последнее находилось на абсолютном уровне бесконечности, которое относилось к сфере божественного.

Кантор считал, что человеческий разум может постичь трансфинитное. Но возникающий парадокс указывал на то, что абсолютный, божественный, уровень — выше его способностей. Он появляется не из-за ошибки в теории, а из-за попытки человека удержать понятие, которое превосходит его умственные возможности. Так, оставляя уровень бесконечности Богу, Кантор — в первую очередь человек, а потом уже математик — смог успокоить свою религиозную совесть. И если говорить о логических нестыковках в теории Кантора, многие математики, в том числе и его сторонники, не соглашались с подобной интерпретацией парадоксов.