Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике. - Gustavo Pineiro

Понятия теории множеств — известные и необходимые инструменты.

Жак Адамар, французский математик (1865-1963), на конференции 1897 года

Теперь докажем, что множество всех вещественных чисел с 0 по 1 на отрезке числовой прямой эквивалентно 'P(М). Необходимо получить такой результат, при котором каждому числу с 0 по 1 точно соответствует множество натуральных чисел.

Возьмем число 0,333... Как найти эквивалентное ему множество? На рисунке показано, что сначала мы должны записать его в двоичной системе. Получив выражение 0,01010101..., возьмем только его часть после запятой, в данном случае 010101..., и посмотрим, какое множество соответствует этой последовательности. Поскольку это последовательность нечетных чисел, то 0,333... соответствует ей.

Таким же образом, если у нас есть множество, образованное, например, числами 2 и 3, и мы хотим узнать, какому числу оно соответствует, сначала мы должны представить его в виде последовательности нуля и единицы. В данном случае это будет выражение 00110000..., и рассмотрим его как цифры после запятой некоего числа, записанного в двоичной системе. Это число 0,001100000..., которое в десятичной системе будет выглядеть как 0,1875. Таким образом, множеству, состоящему из чисел 2 и 3, соответствует число 0,1875.

Итак, мы видим, что 'P(N) эквивалентно множеству всех чисел между 0 и 1. Но в главе 3 отмечалось, что оно эквивалентно R (любой отрезок эквивалентен всей прямой); таким образом, мы выводим, что 'P(N) эквивалентно R. Наконец, на вопрос, какова же мощность 'P(N), в 1892 году Кантор ответил, что она равна мощности R.

Взаимно однозначное соответствие между вещественными числами (в промежутке от 0 до 1) и множествами, состоящими из вещественных чисел.

Рассмотрим еще одну операцию из области трансфинитной математики.

Вернемся к последовательностям нуля и единицы, но теперь рассмотрим только конечные. Сколько таких последовательностей мы можем образовать, если в них должно быть только две цифры? Всего четыре последовательности: 00, 01, 10 и 11. Если цифр три, то их будет восемь: 000, 001, 010, 100, 110, 101,011, 111, а если цифр всего четыре, то 16. Если цифра одна, то последовательностей будет только две: 0 и 1.

Итак, у нас есть 21 последовательности из одной цифры, 22 последовательности из двух цифр, 23 последовательности из трех цифр и так далее. Логично было бы предположить, что мощность последовательностей из «X0 цифр» будет равна  2X0. Действительно, в «Обоснованиях» Кантор дает определение возведению мощностей в степень и основывает его на понятии, которое он назвал покрытием. Когда мы составляем бесконечную последовательность из нуля и единицы, утверждает Кантор, мы покрываем каждый элемент N нулем или единицей.

Ответить на вопрос, какова мощность множества всех бесконечных последовательностей, состоящих из 0 и 1, — значит покрыть N, используя два этих элемента. Всего способов «покрытия» чисел 0, 1 и 2 с использованием двух элементов — 23; покрытия чисел 0, 1, 2 и 3 — 24, значит, как писал Кантор, по определению, мощность всех способов покрытия N двумя элементами равна 2X0 . К тому же, поскольку множество всех последовательностей нуля и единицы эквивалентно R, мы можем заключить, что и мощность R равна 2X0 . Поэтому континуум-гипотезу можно сформулировать и как вопрос «равно ли 2X0  X1 ?».

Если бы мы покрывали N тремя элементами, то получили бы мощность 3X0; другими словами, множество всех бесконечных последовательностей 0, 1 и 2 имеет мощность 3X0. Но не стоит путаться. Сперва можно подумать, что 3X0 больше 2X0 , однако это не так. На самом деле 2X0 = 3X0. Чтобы доказать это, достаточно увидеть, что множество последовательностей нуля и единицы эквивалентно множеству последовательностей 0,1 и 2. За этим доказательством стоит идея, что поскольку последовательности нуля и единицы могут рассматриваться как числа, записанные в двоичной системе, таким же образом и последовательности 0, 1 и 2 могут быть представлены как числа, записанные в троичной системе. Таким образом, соответствие между двумя множествами устанавливается посредством изменения системы исчисления.

Исходя из определения степени мощностей, мы можем сказать, что, поскольку мощность ординальных чисел второго класса равна X1? для этих ординальных чисел существует 2X1 возможных покрытий; также, хотя и кажется очевидным, что 2X1 больше 2X0 , это еще не было доказано. Подчеркнем, что данное утверждение действительно нуждается в доказательстве. Мы не можем просто сказать, что поскольку X1 больше X0 , то и 2X1 обязательно больше 2X0 , — мы ведь уже видели, что хотя 3 и больше 2, при этом X13 не больше 2X0 . Отсюда следует: когда речь идет о бесконечности, то, что кажется само собой разумеющимся, не всегда верно. Как мы можем представить покрытие ординальных чисел второго класса? Заметим, что если дано количество X1 ординальных чисел второго класса, то каждое из его покрытий будет иметь X1 цифр, то есть по цифре на ординал.

У покрытий ординалов второго класса более сложная структура, чем у N. Чтобы определить покрытие N, достаточно просто сказать, что оно «начинается с 01 и продолжается, повторяя эти цифры». Эта фраза полностью описывает покрытие 010101..., поскольку, пользуясь этим единственным правилом, мы знаем, какой цифрой — 0 или 1 — покрывать каждое натуральное число.

Но этого определения недостаточно для полного описания покрытия ординальных чисел второго класса, так как они устроены сложнее, чем натуральные числа. Ординалы второго класса начинаются с ω, ω + 1, ω + 2, ..., после бесконечного числа этапов переходят κω + ω,ω + ω+ 1,ω + ω + 2,..., после бесконечных переходов — к ω + ω + ω... и после бесконечного числа бесконечных переходов — κω + ω + ω + ω... (ω, взятому бесконечное число раз), ω + ω + ω + ω... (ω, взятое бесконечное число раз) + 1... и так далее.

Таким образом, если мы говорим, что покрытие ординалов второго класса «начинается с 01 и состоит из повторения этих цифр», это подскажет нам, какова будет только первая часть последовательности ω, ω + 1, ω + 2,... Перейдя κω + ω, мы должны указать способ начать покрытие заново. Оно может быть снова 01 или каким-то другим. И опять, когда мы дойдем до ω + ω + ω, мы должны будем начать все сначала; потом все сначала, дойдя до ω + ω + ω + ω, и так далее.

Если мы решим начинать каждый раз с 01, то у нас получится «базовое» покрытие N 010101..., которое будет повторяться несчетное количество раз.

Континуум-гипотеза гласит, что 2X0 = X1. Кантор не смог ни доказать, ни опровергнуть это утверждение. Обобщенная континуум-гипотеза была сформулирована Кантором в его «Обоснованиях» и расширяет предыдущую. По ней, не только 2X0 = X1 но и 2X1 = X2, 2X2 = X3, 2X3 = X4 и так далее. При жизни ученый так и не узнал, верные эти гипотезы или ложные.

Членами множества 'P(N) являются все множества, которые можно образовать с помощью членов N. Эту идею, разумеется, можно обобщить. Если А — произвольное множество, то множество, члены которого — все множества, которые можно создать посредством элементов А, будет называться 'P(A) (читается «части А»), Как 'P(N) имеет мощность 2X0 , так же можно доказать, что 'P(N) имеет мощность, равную «2 в степени мощности A». Если бы континуум-гипотеза была верной, то мощность 'P(R) равнялась бы 2X1 .

Мы знаем, что N счетное, a 'P(N) — нет; другими словами, мощность Τ(Ν) больше, чем Ν. Это тоже можно обобщить. Согласно теореме Кантора, мощность 'P(А) всегда будет больше А. Одним из следствий теоремы Кантора является то, что для любого множества всегда будет существовать большая мощность, но только в тех случаях, когда речь идет о множествах, образованных ординальными числами. Теорема Кантора позволяет распространить это утверждение на все множества, вне зависимости от того, какова природа их членов. Возьмем универсальное множество, то есть содержащее в себе все, абсолютно все возможное. По теореме Кантора, существует множество с большей мощностью. Но может ли быть мощность, превышающая мощность множества, в котором содержится вся Вселенная? Такого большого множества не может существовать, однако теорема Кантора утверждает обратное.

Таким образом, мы оказываемся перед противоречием. В теории множеств обнаруживается еще один парадокс, известный как «парадокс Кантора». В начале XX века был открыт третий парадокс, названный именем Бертрана Рассела. Без преувеличения можно утверждать, что он вызвал настоящий кризис в математике. В следующей главе мы рассмотрим все парадоксы теории Кантора и проанализируем влияние, которое они оказали на математику.