Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике. - Gustavo Pineiro

Как мы увидели, аксиомы Цермело — Френкеля (речь только об этих конкретных аксиомах, потому что они чаще всего используются) позволили наконец решить проблему парадоксов теории множеств, расчистив путь для программы Фреге по обоснованию математики на понятиях множеств. Его попытался возобновить Рассел, но безуспешно. Целью Бурбаки было завершить проект Фреге. Для этого на первом собрании в 1935 году математики договорились написать серию томов под названием «Начала математики», каждый из которых был бы посвящен отдельной области этой науки. В каждой книге разбираемые понятия рассмотрены с максимально возможной логической строгостью, чтобы создать устойчивую базу для дальнейшего развития. Так или иначе, основой этих определений была теория множеств.

На сегодняшний день из-под пера Бурбаки вышло более дюжины томов. Несмотря на критику слишком сухого стиля, они имели и продолжают иметь огромное влияние на установление логических основ современной математики. С другой стороны, хотя сочинения Бурбаки должны были стать базой для работы других ученых — исследователей, которые создают и открывают новые понятия и теоремы, — их влияние распространилось и на преподавание математики, особенно во второй половине XX века, посредством так называемой «современной математики».

Согласно вымышленной биографии, Николя Бурбаки был генералом французской армии греческого происхождения. Уйдя в отставку, он якобы посвятил себя изучению математики и жил в несуществующем городе Нанкаго: скорее всего, это название является комбинацией городов Нанси во Франции и Чикаго в США, так как некоторые создатели Бурбаки были тесно связаны с тамошними университетами. «Николя Бурбаки» — это коллективный псевдоним, который избрала себе в середине 1930-х годов группа математиков, в основном французских.

Считается, что они выбрали его отчасти в шутку, отчасти чтобы не подписывать длинным списком фамилий работы, сделанные несколькими учеными.

Несмотря на то что почти все члены группы стремились сохранить в тайне свою принадлежность к ней, сейчас нам известно, что под псевдонимом Бурбаки скрывались от 10 до 20 участников, а среди создателей группы были такие известные французские математики, как Андре Вейль (1906-1998), Жан Дьедонне (1906-1992) и Клод Шевалле (1909-1984).

Портрет вымышленного генерала Николя Бурбаки.

В то время в рамках этого направления было предложено преподавать все математические понятия исходя из идей теории множеств, даже в начальной школе (что вызвало прямо противоположные мнения). Однако это педагогическое течение утратило почти весь свой авторитет и полностью заброшено.

И тем не менее теория множеств жива и прекрасно себя чувствует. Как и задумывали Кантор, Дедекинд и Фреге и благодаря работе Бурбаки, сегодня она стала основой всей математики.

Список рекомендуемой литературы

Bell, Е.Т., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza, 1996.

Bunch, B.H., Matemdtica insolita (Paradojas у paralogismos), Mexico, Reverte, 1997.

Cantor, G., Fundamentes para una teoria general de conjuntos (Escritos у correspondencia selecta), edicion de Jose Ferreiros; Barcelona, Critica, 2006.

Hawking, S. (compilador у comentarista), Dios creo los ndmeros (Los descubrimientos matemdticos que cambiaron la historia), Barcelona, Critica, 2010.

Kasner, E., Newman, J., Matemdticos e imagination, Barcelona, Salvat, 1994.

Lavine, S., Comprendiendo el infinite, Mexico, Fondo de Cultura Economica, 2005.

Martinön, A. (compilador), Las matemdticos del siglo xx (Una mirada en 101 articulos), Madrid, Nivola, 2000.

Odifreddi, P., La matemdtica del siglo xx, Madrid, Katz Barpal Editores, 2006.

Smullyan, R., Satan, Cantor у el infinito, Barcelona, Gedisa, 1995.

Stewart, I., Historia de las matemdticos, Barcelona, Critica, 2008.

Указатель

Acta Mathematica 94-96, 114

ZF 154, 158

аксиомы Цермело — Френкеля 154, 156, 160

алеф 122, 123

Аристотель 8-10, 24-28, 31, 33, 38, 54, 79, 86

арифметика

ординальная 128

трансфинитная 123-126

Архимед 77

бесконечность

актуальная 9-11, 20, 23-28, 36, 38-40, 42, 56, 68, 72- 73, 90, 91, 102, 106, 142

потенциальная 9, 10, 20, 23-26, 36, 42, 69, 72, 98, 99, 102, 105, 106

Больцано, Бернард 10, 92

Борель, Эмиль 116, 117

Борхес, Хорхе Луис 31, 122

Бурали-Форти, Чезаре 144, 145, 152

Бурбаки, Николя 160-162

Вейерштрасс, Карл Теодор Вильгельм 13, 19, 37, 37, 43, 47, 54, 55, 69, 82-83

взаимно однозначное соответствие 38-40, 41, 45-48, 51, 54, 60, 62, 65-69, 127, 129-132

Галилей, Галилео 10, 27, 28-31, 37-39, 54

Гейне, Генрих Эдуард 36, 93, 95, 99, 100, 103, 104

Гедель, Курт 154, 158, 159

Гильберт, Давид 44, 102, 115, 116, 118, 143-145

отель Гильберта 44

Гутман, Валл и 13, 37

Дедекинд, Рихард 13, 17, 18, 26, 37, 40, 43, 47, 59-61, 69, 78, 82, 84, 89-94, 106, 118, 119, 123, 143, 148, 150, 162

дедекиндово сечение 92

пересечения 119

диагональный метод 13, 48-51, 54, 130

Евклид 148, 149

единственность 99, 100, 102— 104

исчисление 17, 35, 57, 70, 78, 82-86, 96, 101, 105, 116, 118, 134, 144, 148

Кавальєри, Бонавентура 77

квадратура круга 52, 54

Конгресс математиков международный

в Гейдельберге (1904) 147

в Париже (1900) 116

в Цюрихе (1897) 143

континуум 100, 147

гипотеза 67-69, 108, 116, 122, 135, 158

проблема 91, 100

Коэн, Пол 159

Крелле журнал 37, 69, 70, 72, 75

Кронекер, Леопольд 13, 19, 20, 70-73, 75, 85, 94, 121

Лебег, Анри 116, 117

Лейбниц, Готфрид Вильгельм фон 12, 17, 77-81, 98, 99

Линдеманн, Карл Луис Фердинанд фон 54, 72

Лиувилль, Жозеф 53, 72, 85

Миттаг-Леффлер, Геста 98-100

множество 13, 37, 38, 42, 44, 54, 60, 62, 66-71, 75, 91, 93-95, 98, 106-108, 110-112, 114, 115, 123, 124, 139, 159- 160

абсолютное 142

бесконечное 33, 67, 72, 73, 86, 95, 156

доступное 144

конечное 11, 111, 124

недоступное 144, 158

несчетное 89, 112, 130

ординальных чисел 124, 152

производное 105, 106

пустое 107, 119, 129, 130, 156

своих частей 156

счетное 85, 95, 111, 112, 122, 124, 136

теория множеств 17, 77, 93, 95, 98, 107, 124, 126, 128, 142, 143, 158-160, 162

трансфинитное 13, 122, 146

троичное 133

универсальное 142, 143, 152, 156, 157

эквивалентное 38, 40, 44, 47, 48, 51, 52, 60, 63, 64, 67, 69, 71, 89, 124, 125, 130, 131-133

Нейман, Джон фон 158

Ньютон, Исаак 17, 77, 80, 81

омега прописная (Ω) 123

омега строчная (ω), 12, 124

ординальные числа И, 12, 91, 122, 128, 134, 136, 140-142, 149, 152

второго класса 122-125, 134, 135, 141

первого класса 122-125, 141

третьего класса 122-125, 141

парадокс 9, 10, 26, 30, 40, 80,

89, 96, 102, 103, 115, 141- 146, 148, 151, 154, 158, 160

Аристотеля 86

Бурали-Форти 152, 157

Галилея 39

Зенона 8

Кантора 135, 136, 152, 157

ординальных чисел 141, 144

Рассела 15590, 152, 154, 157

платонизм 158-167

последовательность 47, 51, 53, 69, 72, 84, 89, 105, 106, 107, 119, 123, 127, 140

фундаментальная 87, 88, 89

Пуанкаре, Анри 69, 116, 117

разложение на тригонометрические ряды 103, 105, 108

Рассел, Бертран 61, 94, 137, 150-154, 160

Риман, Георг Фридрих Бернхард 78, 104

Святой Августин 27

теорема Кантора 143

теория МК 158

NBG 158

теория множеств (см. также Множество)

тригонометрические ряды 87, 90, 99, 100, 103, 104, 105, 107, 108

формализм 158-159

Фреге, Готлоб 148-152, 153, 160

Френкель, Абрахам 154, 156, 160

Фурье, ряды {см. также Тригонометрические ряды) 100, 103-105, 108

Фурье, Жозеф 103

Цермело, Эрнст 154, 156, 160

число

алгебраическое 13, 37, 51—55, 57, 67, 75

вещественное 13, 48-51, 54, 55, 59, 60, 62-64, 66- 69, 71, 82-86, 96, 106, 105-109, 116, 118-119, 122, 123, 130-132, 147, 148

иррациональное 35, 48, 52, 81, 89, 106, 116, 126

квадратное 30, 37-40

рациональное 40-42, 44-49, 52-55, 67, 72, 85, 89, 94, 106, 107, 118, 119, 126, 147, 148, 151

трансфинитное 141

трансцендентное 52-55, 67-72

целое 41, 42, 44-46, 48, 49, 52, 53, 55, 56, 67, 68, 73, 75, 94, 95

Георг Кантор первым среди ученых начал с математической точностью исследовать бесконечность, представлявшую философский интерес. Его новаторский подход к математике воплотился в теории множеств, он сформулировал противоречащие интуиции понятия разных видов бесконечного. До работ, которые были изданы ученым в конце XIX века и стали фундаментальным вкладом в науку, бесконечность, следуя восходившей к Аристотелю научной традиции, понималась как полезная условность. Смелость Кантора стоила ему дорого: его идеи были жестко отвергнуты многими современниками, что, вероятно, послужило причиной его душевной болезни и преждевременной кончины.