Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Давайте теперь найдем правильные ответы на все эти вопросы. Первые два, по-моему, вполне очевидны. А вот последние… Впрочем, мы обязательно разберем все в подробностях.

Ответ 1. Вариант (А): каким бы ни был изначальный периметр, прямоугольник всегда будет иметь наибольшую площадь только при равных размерах его сторон. Следовательно, наилучшим выбором будет квадрат.

Ответ 2. Вариант (А): наименьший периметр будет иметь треугольник, образованный соединением точек X и Y с точкой, расположенной точно посередине между ними (то есть А).

Ответ 3. Вариант (Г): все треугольники будут иметь одинаковую площадь.

Ответ 4. Вариант (Г): в самом центре поля веревку получится поднять вверх чуть больше, чем на 4 м – вполне достаточно для грузовика.

Для решения первой задачи будет достаточно несложных алгебраических вычислений. Возьмем прямоугольник, в котором длина верхней и нижней сторон равна b, левой и правой – h. Его периметр, таким образом, будет равен 2b + 2h – сумме длин всех четырех сторон. Его площадь (то есть, по сути, площадь того, что можно в этот прямоугольник поместить) будет равна произведению b и h. (О том, что же такое площадь, мы поговорим чуть позже.) Так как периметр у нас составляет 16 м, имеем 2b + 2h = 16 или

А так как h = 8 – b, площадь bh (которая по изначальному условию должна быть как можно больше) равна

Какое значение b даст нам максимальный результат? Чуть позже, в главе 11, мы рассмотрим очень простой способ подобных вычислений. Сейчас же удовлетворимся методом разбития квадрата, который уже встречался нам в главе 2. Посмотрите:

есть площадь нашего прямоугольника. При b = 4 она составит 16 – 0² = 16; при b ≠ 4 –

Так как мы вычитаем из 16 некую положительную величину, разность в любом случае будет меньше 16. Следовательно, площадь нашего прямоугольника будет максимальной при b = 4 и h = 8 – b = 4. И здесь нам открывается совершенно удивительно свойство геометрии: изначальный периметр – 16 м – вдруг оказывается не имеющим значения и отношения к задаче. Каким бы ни был этот показатель, оптимальной формой прямоугольника с периметром p будет квадрат с длиной сторон p/4.

Чтобы ответить на остальные вопросы, нам нужно разобраться в тех из них, которые на первый взгляд кажутся парадоксальными, а заодно и освежить в памяти школьные основы геометрии: почему сумма углов треугольника равна 180°? О чем нам рассказывает теорема Пифагора? Как определить, равна ли форма двух треугольников (и зачем вообще это нужно)?

Классика геометрии

Геометрия уходит корнями далеко вглубь веков – во времена Древней Греции. Оттуда же происходит и само название этой чудесной во всех отношениях науки: «гео» на древнегреческом означает «земля», «метрия» – «измерение». Оно говорит само за себя, давая нам ясное представление о том, зачем вообще придумали геометрию – чтобы измерять земельные участки, на которых планировалось вести строительство или другие работы. А еще ее использовали в астрономии. Но древние греки не были бы древними греками, если бы не отшлифовывали любое свое знание до абсолютно идеальных форм, превращая его в искусство – такое, каким не устают (и никогда не устанут) восхищаться их потомки, сколько бы тысячелетий ни прошло. И по сей день главной книгой геометрии остаются написанные в 300 году до нашей эры «Начала» Евклида – сокровищница всех наших знаний о геометрии, лучший на все времена учебник. В «Началах» разъясняется, что такое математическая строгость, дедуктивный и аксиоматический методы, доказательство… – Все то, на чем до сих пор строится любая работа любого математика.

Евклид выдвинул пять аксиом (также называемых постулатами) – положений, интуитивно понятных каждому и потому не требующих доказательств. Именно они суть основа всего, из чего состоит геометрия – и все теоремы так или иначе базируются именно на них. То, что перечислено чуть ниже, конечно же, не являются цитатами из «Начал», но наши формулировки никоим образом не противоречат их сути. Итак:

Аксиома 1. Любые две точки пространства могут быть соединены только одним отрезком прямой.

Аксиома 2. Отрезок этот можно продолжать в обоих направлениях до бесконечности – так получаются прямые.

Аксиома 3. Для любых двух точек O и P можно очертить только одну окружность с центром в точке O и точкой P, лежащей на окружности.

Аксиома 4. Все прямые углы равны 90°.

Аксиома 5. Если точка Р не лежит на прямой l, можно провести через точку P одну и только одну прямую, которая будет параллельна прямой l.

Думаю, тут важно оговориться, что здесь мы ведем речь о так называемой плоской геометрии (или планиметрии) – особом разделе евклидовой геометрии, в основе которой лежат построения на двухмерной (скажем, x и y) плоскости. Любое, даже самое незначительное изменение одной из аксиом приведет нас в некую совершенно иную (при этом весьма интересную и необязательно бесполезную) математическую систему. Есть, например, сферическая геометрия, которая изучает точки и фигуры не на плоскости, а на поверхности сферы: «прямые» в ней превращаются в круги с максимальной длиной окружностей (они называются большими кругами), что приводит к обязательному их пересечению в той или иной точке, а значит, и к отрицанию существования параллельности.

А если в пятой аксиоме предположить, что через точку P можно провести не одну, а две прямых, параллельных прямой l, мы придем к системе, которая называется геометрией Лобачевского, и ко всему многообразию ее удивительных теорем. Многие художники – такие, скажем, как Мауриц Эшер[19] или Дуглас Данхэм[20] – используют ее для создания завораживающих графических композиций; последний, к слову сказать, любезно позволил мне показать вам одно из своих творений:

Конечно же, пятью аксиомами, сформулированными Евклидом, геометрия не ограничивается, поэтому не удивляйтесь, если на этих страницах вы найдете и другие. Ну а поскольку эта книга – отнюдь не учебник, мы, пожалуй, не будем тратить время на обстоятельное доказательство прописных истин и объяснение элементарных понятий, тем более с нуля. Я очень высокого мнения о своем читателе и считаю аксиомой, что он помнит со школы (или просто знает), что такое точка, прямая, угол, круг, периметр, площадь и так далее. К тому же я по мере сил буду избегать профессиональной лексики и всяких специфических и понятных, пожалуй, только математику, обозначений – ведь в центре нашего внимания не наука как таковая, но ее магия, способная затронуть струны любой, даже самой далекой от геометрии, души.

Я абсолютно уверен, например, что вы уже знаете (ну или готовы принять на веру), что градусов в любом круге ровно 360 и что обозначается это как 360°. А любой находящийся в этом круге угол, таким образом, будет равен значению от 0° до 360°. Представьте себе стрелки часов, сходящиеся в самом центре циферблата. В час дня или ночи стрелки располагаются так, будто «отрезают» от круга одну двенадцатую – значит, угол между ними равен 30°. В три часа стрелки «отрежут» уже четверть круга

и образуют угол 90° (такой угол называется прямым, а прямые или лучи, которые его образуют, – перпендикулярными друг другу). Прямая же линия, которую образуют стрелки ровно в шесть часов, образует угол 180°.

А вот одно очень полезное и часто встречаемое на практике обозначение: отрезок прямой, лежащий между точками A и B, выглядит в записи как AB. Если же вам нужно оперировать его длиной, черточку сверху ставить не нужно: длина отрезка AB составляет AB.

Две прямые при пересечении всегда образуют четыре угла. Взгляните на рисунок – что вы видите? Видите, что два прилежащих (смежных) угла (a и b, например) образуют линию? Такие углы называются дополнительными (потому что дополняют друг друга до 180°, которые нам дает линия).