Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Возьмем фигуру, состоящую из четырех костяшек домино, каждая из которых имеет размер x на 1/x. Расположены они так, чтобы в пространстве между ними получился квадрат. Какова будет общая площадь всей фигуры (включая этот внутренний квадрат)?

С одной стороны, поскольку фигура представляет собой квадрат x + 1/x на x + 1/x, ее площадь должна быть (x + 1/x)². С другой стороны, площадь каждой костяшки домино равна 1, поэтому площадь фигуры в целом составит как минимум 4. Следовательно,

или x + 1/x ≥ 2, что и требовалось доказать.☺

Начав с площади прямоугольника, можно найти площадь практически любой другой геометрической фигуры, в первую очередь – треугольника.

Теорема: Площадь треугольника с длиной основания b и высотой h составляет

Для наглядности возьмем три конкретных треугольника, основание каждого из которых рана b, а высота – h, что значит, что их площадь также должна быть равна. Это, по сути, наш третий вопрос, ответ на который, готов поспорить, многих из вас удивил.

В зависимости от того, какие размеры имеют прилежащие к основанию AC углы ∠A и ∠C, нам нужно рассмотреть три разных частных случая, а затем создать копию треугольника ABC и вписать его вместе с оригиналом в прямоугольник с площадью bh, как показано на рисунке. Треугольник ABC займет ровно половину этой площади, а значит, его площадь составит как мы и предполагали.

Если углы ∠A и ∠C острые, остроумным будет и доказательство. Из точки B проведите линию длиной h так, чтобы она была перпендикулярна отрезку AC (она называется высотой треугольника ABC), пересекая его в точке X, как показано на рисунке:

AC, таким образом, состоит из отрезков AX и XC, длины которых составляют соответственно b1 и b2, где b1 + b2 = b. А так как треугольники BXA и BXC получились у нас прямоугольными, то, согласно предыдущему примеру, их площади будут равны соответственно. Следовательно, площадь большого треугольника ABC –

что и требовалось доказать.

В случае же, если ∠A или ∠C является тупым, чертеж будет выглядеть вот так:

В примере с остроугольным треугольником мы представляли ABC как сумму двух прямоугольных треугольников. Здесь же нам нужна их разность. Высота любом тупоугольном треугольнике выходит за его границы, образуя тем самым большой треугольник. В нашем случае это ABY, длина основания которого равна b + c, а площадь – Маленький же прямоугольный треугольник CBY имеет площадь Следовательно, площадь ABC может быть представлена как

что и требовалось доказать.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора является, пожалуй, чуть ли не самой популярной теоремой в геометрии. И уж точно одной из самой популярных в математике вообще. Поэтому в том, что ей посвящен целый раздел нашей «геометрической» главы, нет ничего странного.

Итак, в прямоугольном треугольнике сторона, лежащая напротив угла в 90°, называется гипотенузой, другие две стороны – катетами. В треугольнике, изображенном чуть ниже, катетами являются отрезки BC (длиной a) и AC (длиной b), а гипотенузой – отрезок AB (длиной c).

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике с катетами длиной a и b и гипотенузой длиной c

Существует более трех сотен различных доказательств этой теоремы, но мы остановимся лишь на самых простых. Можете пропускать некоторые из них, если хотите: моя основная цель заключается в том, чтобы хотя бы одно из них заставило вас улыбнуться, а может быть, даже восхититься.

Доказательство 1: Ниже на рисунке изображен квадрат, составленный из четырех конгруэнтных прямоугольных треугольников.

Вопрос: Какова площадь этого квадрата?

Ответ 1: Длина каждой из сторон квадрата равна a + b, следовательно, его площадь составит (a + b)² = a² + 2ab + b².

Ответ 2: С другой стороны, большой квадрат состоит из четырех треугольников, площадь каждого из которых равна ab/2, и пустого (тоже квадратного) пространства между ними, площадь которого равна c². (Кстати, откуда мы взяли, что оно является квадратным? Во-первых, мы знаем, что его стороны равны. Во-вторых, благодаря правилу симметрии, мы можем убедиться в том, что равны и все его углы: если повернуть эту фигуру на 90°, она будет абсолютно идентична изначальной, а значит, все ее углы должны быть одинаковыми. Так как сумма углов любого четырехугольника всегда составляет 360°, мы можем сделать вывод, что каждый из четырех углов нашей фигуры равен 90°.) Следовательно, их общая площадь выглядит как 4(ab)/2 + c² = 2ab + c².

Сведем первый и второй ответы к одному уравнению:

Вычтем 2ab из обеих сторон и получим

что и требовалось доказать.☺

Доказательство 2: Возьмем ту же фигуру, что и в предыдущем доказательстве, только немного поменяем расположение треугольников в ней. И если на левом рисунке очевидно, что площадь пустого пространства равна c², то на правом она уже составит a² + b². Следовательно, c² = a² + b², что и требовалось доказать.☺

Доказательство 3: Снова передвинем треугольники, только на этот раз так, чтобы они располагались более компактно (как на следующем рисунке), а c² была бы площадью не маленького внутреннего, а большого квадрата (это будет все еще квадрат, ведь каждый его угол есть сумма ∠A и ∠B, то есть 90°). Общая площадь треугольников по-прежнему равна 4(ab/2) = 2ab. Площадь же внутреннего пустого пространства составит (a – b)² = a² – 2ab + b². Соединив все вместе, имеем 2ab + (a² – 2ab + b²) = a² + b², что и требовалось доказать.

Доказательство 4: Это будет доказательство подобием, поэтому нам нужно сначала вспомнить все, что мы знаем и подобных треугольниках. В прямоугольном треугольнике ABC проведем линию CD так, чтобы она была перпендикулярна гипотенузе AB, как на рисунке:

Обратите внимание, что треугольник ADC содержит как прямой угол, так и ∠A, из чего следует, что его третий угол должен быть конгруэнтным ∠B. Подобным же образом треугольник CDB содержит как прямой угол, так и ∠B, из чего следует, что его третий угол должен быть конгруэнтным ∠A. Следовательно, все три треугольника будут подобными:

Имейте в виду, что порядок букв здесь имеет важное значение: ∠ACB = ∠ADC = ∠CDB = 90° являются прямыми углами, как и ∠A = ∠BAC = ∠CAD = ∠BCD и ∠B = ∠CBA = ∠DCA = ∠DBC. Сопоставление длин сторон первых двух треугольников дает

Точно так же для первого и третьего треугольников –

Сложим эти два уравнения и получим