Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Имейте в виду, что порядок букв здесь имеет важное значение: ∠ACB = ∠ADC = ∠CDB = 90° являются прямыми углами, как и ∠A = ∠BAC = ∠CAD = ∠BCD и ∠B = ∠CBA = ∠DCA = ∠DBC. Сопоставление длин сторон первых двух треугольников дает

Точно так же для первого и третьего треугольников –

Сложим эти два уравнения и получим

А так как AD + DB = AB = c, мы приходим к

что и требовалось доказать.☺

Следующее доказательство будет чисто геометрическим – никакой алгебры, зато очень много непростой визуализации.

Доказательство 5: В этот раз возьмем два квадрата с площадями a² и b². Расположим их вплотную друг к другу – как показано на рисунке слева, и их общая площадь тогда составит a² + b². «Разрежем» получившуюся фигуру на два прямоугольных треугольника (длины катетов составят a и b, длина гипотенузы – c) и один странной формы геометрический объект. Обратите внимание, что угол в нижней части этого «странного объекта» должен быть равен 90°, потому что его окружают ∠A и ∠B. Представьте себе, что в левом верхнем углу большого квадрата и правом верхнем углу маленького квадрата расположено нечто вроде опорных стержней, вокруг которых потенциально может происходить «вращение» (подобно тому, как комнатная дверь «вращается» вокруг дверной петли, закрепленной на косяке).

А теперь мысленно поверните нижнюю часть левого треугольника на 90° против часовой стрелки – так, чтобы «вывести» его за верхнюю границу большого квадрата. Поверните на 90° и второй треугольник, только теперь по часовой стрелке – так, чтобы прямые углы «легли» один на другой в точке сочленения двух квадратов, как показано на рисунке:

В результате получится квадрат, площадь которого будет равна c². Следовательно, a² + b² = c², что и требовалось доказать.☺

Теорема Пифагора нужна нам для того, чтобы объяснить ответ на четвертый вопрос нашей викторины – вопрос о футбольном поле и двух его воротах, расположенных в 110 метрах друг от друга, с натянутой между ними веревкой длиной 110 метров 30 сантиметров.

Расстояние от ворот до центра поля составляет 55 метров. Поднятая в этом месте вверх – до точки h – веревка дает нам прямоугольный треугольник с длиной одного катета 55 и длиной гипотенузы 55,15. Берем теорему Пифагора, добавляем немного алгебры по вкусу, перемешиваем… и получаем

Достаточно высоко даже для самого большого грузовика, правда?

Магия геометрии

Давайте закончим эту главу тем же, чем начали ее – небольшим геометрическим фокусом. Большинство доказательств теоремы Пифагора основываются на перестановке частей одной геометрической фигуры с целью получения другой с той же площадью. Но смотрите, какой обнаруживается парадокс. Возьмем квадрат 8 на 8. Его, пожалуй, вполне можно разделить на четыре части, как на рисунке чуть ниже – длина одной стороны каждой части должна равняться 3, 5 или 8 (да-да, одному из чисел Фибоначчи!). Перегруппируем эти части так, чтобы получился прямоугольник 5 на 13. (Обязательно попробуйте сделать это сами!) Но ведь площадь начальной фигуры равна 8 × 8 = 64, а конечной – 5 × 13 = 65! Но как это возможно?

Разгадка этого парадокса заключается в том, что прямая линия, являющаяся «диагональю» прямоугольника 5 на 13, на самом деле не такая уж и прямая. Смотрите сами: треугольник, обозначенный буквой С, имеет гипотенузу с наклоном 3/8 = 0,375 (потому что значение ее y-координаты увеличивается на 3, а значение x-координаты – на 8) притом, что верхняя грань фигуры (трапеции), обозначенной буквой D, имеет наклон 2/5 = 0,4 (потому что значение ее y-координаты увеличивается на 2, а значение x-координаты – на 5). То же происходит и с нижними гранями трапеции и треугольника, находящихся в верхней части. Отрезки с разным наклоном никогда и ни за что не образуют прямую линию, а значит, если мы присмотримся к нашему прямоугольнику, то увидим небольшой зазор между двумя почти «прямыми» почти «диагоналями» (см. рисунок). И получается, что, будучи растянутой по всей площади, эта щель дает нам лишнюю единицу общей площади.

В этой главе мы узнали много интересного о треугольниках, квадратах, прямоугольниках и других полигонах, образованных с помощью разного количества прямых линий. Геометрия окружностей и других фигур изогнутой формы более сложна. Здесь нам не обойтись без тригонометрии и ее специфических методов счисления. И, конечно же, без основы основ – удивительного числа π.

Глава номер восемь

Магия числа π

Вокруг да около окружности

Прошлую главу мы начали с проверки своей геометрической интуиции: речь шла сначала о прямоугольниках, затем – о треугольниках и наконец – о натянутой между двух футбольных ворот веревке. Пора поговорить и об окружностях, и тут уж мы мелочиться не будем – начнем с того, что обмотаем веревкой Землю!

Вопрос 1. Представьте себе веревку, достаточно длинную, чтобы обернуть ее вокруг Земли по экватору (это примерно 40 075 км). Но перед тем как завязать узелок, добавим к ней еще три метра. Так вот, если неким волшебным образом нам удастся поднять веревку над землей и водой по всей ее длине на одну и ту же высоту, какой будет эта высота?

А. Чуть больше пары сантиметров.

Б. Достаточной, чтобы под ней можно было проползти.

В. Достаточной, чтобы под ней можно было пройти в полный рост.

Г. Достаточной, чтобы под ней мог проехать грузовик.

Вопрос 2. Две точки окружности – X и Y (см. рисунок) – соединяют две дуги: длинная и короткая. Допустим, что на большей (то есть длинной) дуге мы хотим поставить третью точку Z. Где именно она должна находиться, чтобы угол ∠XZY был как можно больше?

А. В точке A (ровно напротив середины расстояния между XY).

Б. В точке B (являющейся отражением точки X по линии, проходящей через центр круга).

В. В точке С (лежащей настолько близко к точке X, насколько возможно).

Г. Где угодно, потому что все углы будут абсолютно равны.

Чтобы ответить на эти вопросы, нужно разобраться в особенностях геометрии окружностей. Впрочем, если вам все это кажется смертельно скучным, можно вполне обойтись и так: ответом на первый вопрос будет вариант Б, на второй – вариант Г. Но разве вам интересно глотать пищу, не чувствуя ее вкуса? Так вот, особенности геометрии окружностей и есть тот самый вкус.

Любая окружность может быть выражена двумя понятиями – точкой O и положительной величиной r, причем точка O равноудалена от остальных точек окружности на расстояние, равное r (см. рисунок ниже). Точка O называется центром окружности. Расстояние r – радиусом окружности. А еще радиусом для удобства называется отрезок OP, проведенный от точки O к лежащей на линии круга точке P.

Длина окружности и ее площадь

Диаметр окружности – это величина D, обозначающая расстояние между двумя максимально удаленными друг от друга точками окружности и определяющаяся как его удвоенный радиус. То есть

Периметр окружности (то есть расстояние, пройденное по кругу от некой точки до нее же) называется ее, окружности, длиной (или периферией) и обозначается буквой C. На рисунке хорошо видно, что C длиннее, чем 2D, потому что идти по полукругу от точки P к точке Q придется явно дольше, чем напрямик по D, равно как и обратный путь от точки Q к точке P по другому полукругу займет больше времени. Следовательно, C > 2D. А раз уж мы заметили это, почему бы нам не заметить, что C даже немного длиннее, чем 3D. Правда, для того, чтобы наша уверенность была стопроцентной, придется надеть 3D-очки… (извините, не сдержался ☺).