Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Формулу эту можно обобщить, распространив на любой ряд обратных величин всех четных степеней основания числа 2k. В ответе будет фигурировать π2k, умноженное на рациональное число.

А что насчет нечетных обратных величин? В главе 12 мы увидим, что сумма обратных величин положительных значений бесконечна. При любой нечетной степени больше 1 получим что-то наподобие этого:

(это пример для кубов). Сумма здесь будет, по идее, конечной, вот только простой формулы для ее точного вычисления пока никто не нашел.

Невероятно, но факт: π всплывает даже в задачах, связанных с вероятностью. Например, если вы выберете два случайных больших числа, вероятность того, что у них не будет ни одного общего простого множителя, составит чуть больше 60 %. Это приблизительно. А если точно, то 6/π² = 0,6079…. И то, что этот результат является обратной величиной для одной из посчитанных нами чуть выше бесконечных сумм – вовсе не совпадение.

Из чего состоит π?

К тому, что число π немного превышает 3, вы вполне можете прийти самостоятельно – для этого достаточно просто аккуратно все подсчитать. Но сначала нужно найти ответы на парочку вопросов. Во-первых, можно ли доказать соседство π и 3, не проводя специальных измерений? Во-вторых, существует ли для π какое-нибудь более удобоваримое представление (скажем, формула или простая дробь)?

На первый вопрос можно ответить, нарисовав окружность с радиусом 1, площадь который, как нам уже известно, равна π1² = π. На рисунке чуть ниже этот круг вписан в квадрат с длиной сторон, равной 2. Так как площадь квадрата очевидно больше площади круга, получаем, что π должно быть меньше 4.

С другой стороны, в круг можно вписать шестиугольник – так, чтобы все шесть его вершин были расположены на окружности, причем на равном расстоянии друг от друга. Каким будет периметр этого шестиугольника? Разобьем его на шесть треугольников, величина центрального угла каждого из которых составит 360°/6 = 60°, а две стороны будут радиусами круга с длиной, равной 1 (что говорит о том, что все эти треугольники – равнобедренные). Согласно теореме о равнобедренных треугольниках, оставшиеся два угла должны быть равны между собой, то есть величина каждого составит 120°/2 = 60° – так мы узнаем, что треугольники не просто равнобедренные, но еще и равносторонние – с длиной сторон 1. Значит, площадь шестиугольника равна 6. А так как она должна быть меньше длины окружности в 2π (потому что круг очевидно больше шестиугольника), получаем 6 < 2π и π > 3. Так мы и приходим к желаемому

Можно на этом не останавливаться и попытаться еще сильнее сократить возможный разброс – для этого нам понадобятся полигоны с бóльшим количеством сторон. Так, если мы окружим единичный круг не квадратом, а шестиугольником, у нас получится доказать, что π < 2√3 = 3,46….

Еще раз: шестиугольник можно разделить на 6 равносторонних треугольников, каждый из них в свою очередь разбивается на 2 прямоугольных. Если длина меньшего катета равна x, длина гипотенузы составит 2x. По теореме Пифагора x² + 1 = (2x)². Поиски x приводят нас к x = 1/√3. Значит, периметр шестиугольника составит 12/√3 = 4√3, а так как он должен быть больше длины окружности (2π), то π должно быть меньше 2√3 (смотрите-ка, мы пришли к тому же заключению, что и при сравнении площади окружности с площадью шестиугольника).

Следуя той же логике чередования «вписанных» и «описывающих» полигонов, состоящих последовательно из 12, 24, 48 и 96 сторон, один из величайших древнегреческих математиков Архимед сумел доказать, что 3,14103 < π < 3,14271, что сводится к немногим более простой формуле

Есть несколько простых дробей, которые более-менее соотносятся со значением π. Например,

Лично мне больше всего нравится последняя. И не только потому, что она совпадает с π в 6 из всего множества знаков после запятой, но и потому, что использует первые три нечетных числа (причем по два раза и по порядку!): две единицы, две тройки и две пятерки.

Не знаю, как у вас, но у меня руки прямо-таки чешутся найти такую простую дробь, которая полностью бы соответствовала π, – с целыми величинами в роли как числителя, так и знаменателя (чтобы не было соблазна сжульничать и написать что-нибудь вроде Но в 1768 году немец Иоганн Генрих Ламберт доказал, что любые подобные поиски заранее обречены на провал, потому что число π есть величина иррациональная.

Может быть, тогда можно представить его в виде квадратов или кубов простых чисел? Ведь есть же, например, √10 = 3,162…, что очень близко к желаемому результату. Однако в 1882 году другой немецкий математик, Фердинанд фон Линдеман, доказал, что π есть величина не просто иррациональная, но трансцендентная – такая, которая не является корнем ни одного многочлена с целым коэффициентом (число √2, например, будет иррациональным, но не трансцендентным, потому что представляет собой корень многочлена x² – 2).

Впрочем, представить π в простом дробном виде все же можно. Правда, это будет не одна дробь, а сумма или произведение нескольких – вплоть до бесконечности. В главе 12, например, мы увидим, что

Формула эта настолько прекрасна, даже обворожительна, что даже не хочется верить, что π с ее помощью вычислять придется очень и очень долго: после трехсотого элемента мы будем настолько же далеко от заветного 3,14…, насколько далеко от него банальное 22/7.

А вот еще одна недурная попытка, называемая формулой Уоллиса, – представление π в виде бесконечного (то есть считать придется все равно очень долго, пусть и не настолько, насколько в случае с суммой) произведения:

Запомним π (а заодно и τ) во славу его!

Число π продолжает будоражить самые светлые умы и по сей день. С его помощью даже испытывают суперкомпьютеры на быстродействие и точность вычислений – можете себе представить, насколько оно просчитано «в глубину» – на триллионы цифр после запятой. Практического толку от такой точности, конечно, чуть: даже 40 знаков π достаточно, чтобы просчитать размеры пределов наблюдаемой Вселенной с точностью до радиуса одного атома водорода!

Число π – уже почти религия. У ее последователей даже праздник свой есть, он так и называется – День числа π – и празднуется 14 марта (3-й месяц, 14-й день) – в день рождения Альберта Эйнштейна. В честь праздника энтузиасты пекут пироги на математическую тему, надевают маски автора теории относительности и участвуют в конкурсах по воспроизведении наизусть как можно большего количества знаков после тройки и запятой. Рядовой участник такого конкурса помнит, как правило, от нескольких их десятков до нескольких сотен. Рекорд же принадлежит китайскому студенту Чао Лю, добравшемуся в 2005 году до 67 891 цифры! В Книге рекордов Гиннесса говорится, что на одно лишь оглашение числа у него ушло больше 24 часов, на запоминание – около четырех лет.

Вот первые 100 цифр π:

π = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375

105820974944592307816406286208998628034825342117067…

Как только люди не пытались сохранить их в памяти! Один из самых популярных методов – составлять предложения-«запоминалки», в которых количество букв в каждом слове равно числовому значению соответствующей цифры. Пожалуй, наиболее известные из них – английские «How I wish I could calculate pi»[23] (охватывает 7 знаков: 3,141592) и «How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics»[24] (а здесь этих знаков уже 15).

Самая, пожалуй, забавная из них – пародия на знаменитого «Ворона» Эдгара Аллана По, созданная в 1995 году Майком Китом[25] для первых 740 знаков числа π. Одна лишь первая строчка (вместе с именем автора и заглавием) покрывает 42 цифры. Слово из 10 букв считается цифрой 0.

Позже Кит переработал и дополнил свой опус – так родилась его знаменитая «Кадеическая каденция»[26] (Cadaeic Cadenza) – уникальное произведение, в котором «зашифровано» 3835 цифр числа π. (Слово «Cadaeic» – тоже своего рода «шифр» π, в основе которого лежат порядковые номера букв латинского алфавита: C – 3, A – 1, D – 4, A – 1, E – 5, I – 9, C – 3. Сейчас оно стало термином, обозначающим жанр подобного рода поэтических экспериментов.) Кроме «Ворона», в нее входят пародии на другие известные стихи, вроде «Бармаглота» Льюиса Кэрролла[27]. Самым грандиозным трудом Кита, без сомнений, является «Во сне: грезы о первом десятке тысяч цифр числа π»