Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Некоторые значения тригонометрических функций встречаются в расчетах настолько часто, что лучше всего их просто запомнить. Вернемся к треугольнику с углами 30°, 60° и 90° и вспомним про соотношение его сторон – 1: √3: 2. Получается, что

Стороны же треугольника с углами 45°, 45° и 90° имеют соотношение 1: 1: √2, следовательно

А так как tan запомнить придется только то, что tan 45° = 1 и что tan 90° определить невозможно, потому что cos 90° = 0.

С такими знаниями пора вернуться к подножию нашей горы. Только сначала давайте остановимся у первого попавшегося дерева и попробуем рассчитать его высоту.

Предположим, что мы не дошли до ствола 3 метра и что угол между землей под нашими ногами и верхушкой дерева составляет 50°, как изображено на рисунке. (Определить угол, кстати, можно либо с помощью приложения, которое в наши дни есть на многих смартфонах, либо посредством простого устройства, называющегося клинометр, которое легко собирается из транспортира, соломинки для питья и канцелярской скрепки.)

Обозначим высоту буквой h. То есть

Следовательно, h = 3 tan 50°. Последний, если верить калькулятору, равен 1,19…. Получаем 3(1,19…) ≈ 3,57, что и является высотой дерева.

Теперь пойдем к горе – испытаем первый из наших математических методов. Сложность его в том, что мы даже примерно не сможем прикинуть расстояние до центра подножья – то есть вместе с высотой горы мы получаем уравнение с двумя неизвестными. Предположим, что мы измерили угол от точки, в которой находимся, до вершины и получили 40°, потом отошли на 300 метров дальше и получили уже 32° (см. рисунок). Что нам теперь с этой информацией делать?

Способ 4 (метод тангенсов): Обозначим высоту горы h, а расстояние до центра ее подножья в изначальной позиции – буквой x (то есть x это длина отрезка CD). Калькулятор говорит, что в треугольнике BCD tan 40° ≈ 0,839, следовательно

что можно представить как h = 0,839x. В треугольнике ABC имеем

что дает нам h = 0,625(x + 300) = 0,625x + 187,5.

Так как h в обоих случаях есть величина одинаковая, мы имеем полное право эти два уравнения соединить:

Решается это как x = 187,5/(0,214) ≈ 876. Значит, h приблизительно соответствует 0,839(876) ≈ 735, что и будет высотой горы.

Тригонометрия и окружность

Пока что наши знания о тригонометрических функциях ограничиваются прямоугольными треугольниками. Для решения повседневных задач этого, в принципе, более чем достаточно. Но разве вам не интересно узнать, как они ведут себя в других углах, а не только в тех, значения которых колеблются исключительно в диапазоне от 0° до 90° (ведь в прямоугольном треугольнике один из углов всегда прямой, а два оставшихся – острые)? Конечно, интересно, и именно этим мы и займемся в этом разделе – посмотрим на тригонометрические функции через призму единичного круга и разберемся в особенностях поведения синусов, косинусов и тангенсов углов других типов.

Надеюсь, вы не забыли, что единичным называется такой круг, радиус которого равен 1, а центр расположен в точке начала координат (0, 0). Для него отлично работает уравнение x² + y² = 1, которое получилось у нас в прошлой главе из теоремы Пифагора.

Давайте попробуем найти некую точку (x, y), расположенную на окружности выше и левее точки (1, 0) и образующую с центром круга и осью x острый угол A:

Для того чтобы найти x и y, нам нужно начертить прямоугольный треугольник и применить к нему наши формулы косинусов и синусов:

Другими словами, значения координат (x, y) составят (cos A, sin A). Если обобщать, то при радиусе, равном r, (x, y) = (r cos A, r sin A).

Для любого угла A нам нужно определить (cos A, sin A), то есть место расположения на окружности его вершины. При этом cos A будет соответствовать значению координаты по оси x, а sin A – по оси у, вот так:

А вот еще одно общее представление. Только теперь мы разделим единичный круг на много углов с шагом 30° (и сделаем один шаг в 45° для большей наглядности) – так мы получим углы из уже очень хорошо знакомых нам треугольников. Помните, я советовал вам выучить значения косинусов и синусов для углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°?

К углам этим можно прийти с помощью простого отражения значений, содержащихся в первой четверти окружности.

Прибавление или вычитание 360° на величину угла никак не повлияет (мы просто обойдем вокруг него с одной или другой стороны), а значит, для любого ∠A

Имея дело с отрицательными значениями углов, мы двигаемся по окружности слева направо: так, угол, равный –30°, ничем, по сути, не отличается от угла, равного 330°. Обратите внимание, что сдвиг на A градусов по часовой стрелке приводит нас к той же x-координате, что и сдвиг на те же A градусов против часовой стрелки. Y-координата же при этом сменит знак на противоположный. Другими словами, для любого значения угла A

Например,

Обратное происходит, когда мы «отзеркаливаем» ∠A через ось y. Значение y-координаты получившегося таким образом дополнительного угла 180 – A остается неизменным, а значение x-координаты меняет знак на противоположный. То есть

Скажем, при A = 30°

Остальные тригонометрические функции определяются по старой схеме (например, tan A = sin A/cos A).

Оси x и y «разрезают» поверхность окружности на четыре сектора-квадранта. Пронумеруем их римскими цифрами по часовой стрелке – I, II, III и IV, – начиная с правой верхней, то есть с диапазона углов от 0° до 90°. Квадрант II, таким образом, охватит диапазон от 90° до 180°, квадрант III – от 180° до 270°, а квадрант IV – от 270° до 360°. Обратите внимание, что в разных квадрантах разные тригонометрические функции будут вести себя по-разному: положительные значения синуса мы получим в квадрантах I и II, косинуса – в квадрантах I и IV, тангенса – в квадрантах I и III. Чтобы это запомнить, некоторые из моих учеников любят повторять «Все студенты таскают калькуляторы» (посмотрите на первые буквы в каждом слове этой «запоминалки»: «в» – «все функции» в квадранте I, «с» – «синусы» в квадранте II, «т» – «тангенсы» в квадранте III, «к» – «косинусы» в квадранте IV).

Ну и еще немного терминологии. Для определения неизвестных значений углов нужны обратные тригонометрические (циклометрические, круговые) функции. Например, обратным синусом 1/2 будет sin–1(1/2)[32]. Такого рода функция говорит нам, что мы имеем дело с неким ∠A, синус которого равен 1/2. А так как мы знаем, что sin 30° = 1/2, получаем

Функция sin–1 (которая также называется арксинусом) всегда даст нам угол в диапазоне от –90° до 90°, но мы-то с вами знаем, что есть и другие углы с тем же значением синуса – синус 150°, например, будет также равен 1/2. То же происходит и с любым кратным 360° значением, прибавляемым к 30° или 150° – синусы будут равны.

Для треугольника с длинами сторон 3, 4 и 5 (см. рисунок) калькулятор может рассчитать ∠A тремя различными способами, каждый из которых будет основан на своей обратной функции: