Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Число i считается мнимым – таким, которое при возведении в квадрат дает отрицательный результат. Мнимое число 2i, например, дает (2i)(2i) = 4i² = –4.

В алгебраическом смысле мнимые числа ничем не отличаются от чисел действительных. Судите сами:

Кстати, если взять и возвести в квадрат – i, получится тот же результат (–1), потому что (–i)(–i) = i² = –1. Не менее предсказуемы и последствия перемножения мнимого и действительного чисел – скажем, 3 × 2i = 6i.

А что со сложением? Чему, например, равна сумма 3 и 4i? Очевидно, что 3 + 4i, и дальше с этим ничего сделать нельзя (равно как и ничего нельзя сделать с 1 +√3). Числа, образованные по модели a + bi (где a и b суть действительные величины), называются комплексными. Получается, что любая величина, будь она действительной (при b = 0) или мнимой (при a = 0), есть, по своей сути, особая форма комплексного числа. То есть действительное π и мнимое 7i будут также комплексными.

Давайте попробуем разобраться в этом с помощью нескольких конкретных примеров. Начнем со сложения и вычитания:

Для умножения применим алгебраический метод FOIL, описанный в главе 2:

Для комплексного числа каждый квадратный многочлен ax² + bx + c будет иметь два корня (или же один, но повторяющийся). Согласно формуле корней квадратного уравнения, многочлен будет равен 0 всякий раз, когда

Помните, в главе 2 мы с вами говорили о том, что нельзя извлечь квадратный корень из отрицательной величины? Но ведь никакие квадратные корни отрицательных величин нам и не нужны. Смотрите сами: уравнение x² + 2x + 5, например, имеет корни

Кстати, формула корней квадратного уравнения будет верна даже при комплексных значениях a, b или c.

В любом квадратном многочлене мы можем найти как минимум один корень, пусть и комплексный. На этот счет есть своя теорема.

Теорема (основная теорема алгебры): Любой многочлен p(x), возводимый в первую или бо́льшую степень, имеет корень z при p(z) = 0.

Обратите внимание, что многочлен первой степени, вроде 3x – 6, может быть представлен как 3(x – 2), где 2 есть единственный корень 3x – 6. Обобщая, можно сказать, что при a ≠ 0 многочлен ax – b можно представить в виде a(x – (b/a)), где b/a будет являться корнем ax – b.

То же происходит и с многочленами второй степени: разложив ax² + bx + c до a(x – z1)(x – z2), мы получаем его корни – z1 и z2 (они вполне могут оказаться комплексными величинами, равно как и одной и той же величиной). И так можно продолжать до бесконечности – с любым многочленом любой степени.

Сопутствующая теорема: Любой многочлен степени n ≥ 1 может быть разложен на n составляющих. А именно: если p(x) есть многочлен n-ной степени, в котором главный член a ≠ 0, должно существовать n чисел z1, z2…., zn (которые вполне могут оказаться комплексными величинами, равно как и одной и той же величиной), соответствующих p(x) = a(x – z1)(x – z2)… (x – zn). Величины zi являются корнями многочлена при p(zi) = 0.

Теорема эта означает, что любой многочлен степени n ≥ 1 будет иметь как минимум один и как максимум n различных корней.

Например, x4 – 16 есть многочлен четвертой степени. Следовательно, его можно разложить как

из чего очень хорошо видно, что у него будет четыре различных корня: 2, –2, 2i, – 2i.

А вот многочлен третьей степени 3x³ +9x² –12 раскладывается так:

то есть имеет только два различных корня: –2 и 1.

Геометрия комплексных чисел

Комплексные числа можно представить в виде комплексной же плоскости. Выглядит она так же, как и алгебраическая система координат (x, y), только вместо оси y мы чертим некую мнимую ось, на которой расположены числа 0, ±i, ±2i и так далее. Вот как будут выглядеть на этой плоскости некоторые комплексные величины:

Только что мы выяснили, насколько легко складывать, вычитать и умножать числовые выражения комплексных величин. С их геометрическими представлениями работать ничуть не сложнее: достаточно просто взглянуть на соответствующие точки.

Возьмем, к примеру, сложение:

Посмотрите на график ниже: точки 0, 3 + 2i, 2 + 3i и –1 + i образуют параллелограмм.

Вы удивитесь, но его вполне достаточно, чтобы сложить комплексные числа z и w.

Для вычитания z – w возьмем третью точку – w, расположенную симметрично напротив w. А теперь просто сложим z и – w, как показано на графике:

Для умножения и деления нам понадобится измерить комплексные величины. Модулем (или длиной) любого комплексного числа считается длина отрезка от начала координат 0 до точки, соответствующей искомому числу. То есть модуль числа z (обозначается как |z|) есть расстояние от 0 до точки z. Если z = a + bi, тогда, согласно теореме Пифагора, модуль z будет равен

На графике ниже хорошо видно, что точка 3 + 2i имеет модуль √(3² + 2²) = √13. Обратите внимание, что для соответствующего этой точке угла θ tan θ = 2/3. Следовательно, θ = tan–12/3 ≈ 33,7° или примерно 0,588 рад.

Точки с модулем, равным 1, складываются в единичную окружность (см. график ниже). Чему будет равно комплексное число, образующее угол θ? Если бы мы находились в более привычной системе координат, нужная нам точка имела бы координаты (cos θ, sin θ) – это нам хорошо известно по предыдущей главе. Значит, здесь получаем cos θ + i sin θ. То есть любая комплексная величина с модулем R соответствует формуле

что есть не что иное, как тригонометрическое представление этого числа. Забегу немного вперед: в конце главы мы выясним, что равно оно будет Reiθ.

А вот еще кое-что интересное: при перемножении комплексных чисел будут перемножаться и их модули.

Теорема: Для комплексных величин z1 и z2 |z1z2| = |z1| |z2|. Иными словами, модуль произведения есть произведение модулей.