Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

То же можно доказать и с помощью теоремы конгруэнтности по трем сторонам. Для этого возьмем точку M как середину отрезка BC, то есть чтобы BM было равно MC. Проведем линию по отрезку AM. Как и в предыдущем доказательстве, треугольники BAM и CAM будут конгруэнтными, потому что BA = CA (равнобедренность), AM = AM, а MB = MC (потому что точка M находится ровно посередине BC). Следовательно, согласно доказательству по трем парам сторон, BAM ≅ CAM, что говорит нам о равности лежащих в них углов, в том числе и ∠B = ∠C, что и требовалось доказать.

Из факта конгруэнтности следует, что ∠BAM = ∠CAM, следовательно, отрезок AM является биссектрисой. Более того, так как ∠BMA = ∠CMA и в сумме они дают 180°, каждый из них должен быть равен 90°, из чего следует вывод, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проложенная из угла A, будет перпендикуляром к основанию BC.

Кстати, доказательство от обратного в отношении равнобедренного треугольника тоже вполне эффективно, то есть если ∠B = ∠C, то AB = AC. Для этого, как и в самом первом доказательстве, проведем биссектрису из точки A в точку X. Утверждение, что BAX ≅ CAX, в этом случае следует из теоремы конгруэнтности по двум углам и прилежащей к одному из них стороне: ∠B = ∠C (согласно изначальному условию), ∠BAX = ∠CAX (согласно определению биссектрисы), а AX = AX. Значит, AB = AC, то есть треугольник ABC является равнобедренным.

Теорему эту можно применить и к равностороннему треугольнику: если равны все стороны, значит, равны и все углы. Следовательно, поскольку в сумме своей три угла дают 180°, имеем сопутствующую теорему.

Сопутствующая теорема: В равностороннем треугольнике каждый из углов равен 60°.

Согласно теореме конгруэнтности по трем сторонам, если в треугольниках ABC и DEF совпадают все стороны (то есть AB = DE, BC = EF, а CA = FD), их углы будут также совпадать (то есть ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, а ∠C = ∠F). Верным ли будет обратное предположение, что, если в треугольниках ABC и DEF совпадают все углы, будут совпадать и их стороны? Конечно же, нет – просто посмотрите на рисунок:

Два треугольника с равными углами называются подобными. Если треугольники ABC и DEF являются подобными (что обозначается как ∆ABC ~ ∆DEF или просто ABC ~ DEF), то ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, а ∠C = ∠F. То есть один из них, по сути, является уменьшенной (или увеличенной) версией второго. Поэтому при ABC ~ DEF их стороны находятся в пропорциональной зависимости друг от друга по некоторому положительному масштабирующему коэффициенту k: DE = kAB, EF = kBC, а FD = kCA.

Все это поможет нам ответить на второй вопрос нашей викторины, с которой мы начали главу. Давайте вспомним все условия. У нас есть две параллельные прямые: на нижней пролегает отрезок XY, на верхней – точка P. Нашей задачей было найти такое местоположение точки P, при котором треугольник XYP имел бы наименьший периметр. Преобразуем правильный ответ в теорему.

Теорема: треугольник XYP имеет наименьший периметр, если точка P, которая расположена на прямой, параллельной его основанию, находится точно в середине отрезка XY.

И хотя для того, чтобы подтвердить это предположение, достаточно пары нехитрых вычислительных операций, побалуем себя изысканным геометрическим подходом (доказательство получится очень долгим и немного запутанным, поэтому, если хотите, можете особо в него не вчитываться, а то и вовсе пропустить).

Доказательство: Предположим, что точка P располагается абсолютно в любом месте на верхней прямой, а точка Z располагается прямо над точкой Y. (Точнее говоря, точка Z должна быть расположена так, чтобы линия YZ, проведенная от нее в точку Y, была строго перпендикулярна как нижней, так и верхней прямым, как показано на рисунке чуть ниже.) Продолжим линию YZ до точки Y´так, чтобы отрезок Y´Z был равным отрезку ZY. Другими словами, если бы верхняя прямая была зеркалом, точка Y´ была бы отражением точки Y.

Треугольники PZY и PZY´ будут конгруэнтными согласно аксиоме по двум сторонам и лежащему между ними углу: PZ = PZ, ∠PZY = 90° = ∠PZY´, а ZY = ZY´. Следовательно, PY = PY´, из чего и будем исходить далее.

Периметр треугольника YXP есть сумма длин трех отрезков:

а так как мы только что доказали, что PY = PY´, тот же периметр можно представить в виде

Длина YX не зависит от P, так что задачу по поиску ее местонахождения можно упростить до поиска наименьшего значения XP + PY´.

Отрезки XP и PY образуют ломаную линию, которая соединяет точки X и Y´. Но так как наиболее кратким путем между двумя точками будет не ломаная, а прямая линия, в оптимальном варианте точка P* должна располагаться на одной прямой с точками X и Y´, причем на месте ее пересечения с верхней горизонталью, как на рисунке ниже. Все? Нет, еще не все: нам же нужно доказать, что P* находится точно над центральной точкой отрезка XY.

Обозначим точку, находящуюся прямо под точкой P* буквой M. Отрезок P*M при этом будет перпендикулярен XY. Так как верхняя прямая параллельна нижней, длина P*M должна быть равна длине ZY. В принципе, это понятно и так, ведь расстояние между двумя параллельными прямыми равно всегда – хоть на видимом участке, хоть в бесконечности, – но дополнительным подтверждением тому является отрезок MZ, который дает нам два конгруэнтных (согласно теореме – по двум углам и прилежащей к одному из них стороне) треугольника MYZ и ZP*M.

Чтобы доказать, что точка M лежит ровно в центре отрезка XY, докажем сначала подобность треугольников MXP* и YXY´. Обратите внимание, что ∠MXP* и ∠YXY´ суть один и тот же угол, ∠P*MX = ∠Y´YX, так как они оба прямые, а раз мы имеем полное совпадение в двух парах углов, совпасть должны углы и в третьей паре, чтобы в каждом треугольнике получилось по 180°. Каким будет масштабирующий коэффициент? Согласно построению,

поэтому масштабирующий коэффициент будет равен 2. Следовательно, длина XM составляет ровно половину от длины XY, а отрезок XM заканчивается ровно в центре отрезка XY.

Обобщая, мы можем утверждать, что для того, чтобы треугольник XYP имел наименьший периметр, точка P* верхней прямой должна располагаться точно над центральной точкой отрезка XY.◻

Порой геометрические задачи можно решить с помощью алгебры. Предположим, например, что отрезок AB лежит на поверхности с координатами (a1, a2) для точки A и координатами (b1, b2) для точки B. Тогда точка M, располагающаяся в середине этого отрезка, будет иметь координаты

как показано на графике. То есть если, скажем, A = (1, 2), а B = (3, 4), центром отрезка AB является точка M = ((1 + 3)/2, (2 + 4)/2) = (2, 3).

За этим кроется один полезный факт о треугольниках. Начертите треугольник и соедините друг с другом центральные точки любых двух его сторон. Видите, что получается? Ответ кроется в следующей теореме.