Геометрия скорби. Размышления о математике, об утрате близких и о жизни - Майкл Фрейм

Фигура называется замкнутой, если ее дополнение – открытая фигура, а открытой называется фигура, каждая точка которой является центром небольшого круга, лежащего целиком внутри этой фигуры. К примеру, фигура {(x, y): x2 + y2 < 1} является открытой, а {(x, y): x2 + y2 ≤ 1} таковой не является.

Фигура называется ограниченной, если ее можно заключить внутри окружности достаточно большого радиуса.

НЕМНОГО О ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

В этом разделе гораздо больше математики, чем в остальных главах книги. Здесь мы вкратце обрисуем геометрию размерностей, о которой уже говорилось в пятой главе. Не будем выходить за рамки простой геометрии; в реальном мире всё сложнее из-за присущей природе зашумленности. Мы начали говорить о размерности, задавшись вопросом: сколько копий некоторой фигуры возникнет, если удвоить ее ширину и высоту? Но будет еще проще обобщить другой, связанный с этим подход. Вместо того чтобы увеличивать фигуру, мы оставим ее прежние размеры и попытаемся разбить ее на более мелкие копии, подобные целой фигуре. Мы уже рассматривали такую декомпозицию для треугольника Серпинского: он состоит из трех своих копий, масштабированных с коэффициентом 1/2. Обозначим число копий как N, а коэффициент подобия – как r. Тогда фрактальная размерность d будет задаваться соотношением

N = (1/r)d.

Почему здесь стоит 1/r? Потому что N больше 1, а r меньше 1, и, по крайней мере, в этих условиях d является положительным числом. Чтобы найти d, возьмем логарифм от обеих частей равенства, используем известную из алгебры формулу log((1/r)d) = d log(1/r) и разрешим уравнение относительно d:

В основе этого вычисления лежит предположение о самоподобии фигуры, поэтому d называется размерностью подобия. Для треугольника Серпинского размерность подобия равна

Предположим, что фигура самоподобна, но коэффициенты подобия ее частей неодинаковы. Возможно, каждая из N частей имеет свой коэффициент подобия, r1,…, rN.

Формула для вычисления размерности подобия не позволяет включить более одного коэффициента подобия. Но мы можем записать выражение N = (1/r)d в виде

Nr d = 1, то есть r d +… + rd = 1,

где r d +… + rd – это N слагаемых

Поскольку теперь у нас есть свое слагаемое для каждого коэффициента подобия, то в этом уравнении для размерности подобия найдется место для различных коэффициентов:

r1d +… + rNd = 1.

Это так называемое уравнение Морана.

Например, здесь мы видим фрактал с различными коэффициентами подобия. Как показано на схематическом изображении справа, в этом фрактале

r1 = r2 = r3 = 1/2,

r4 = r5 = 1/4,

и поэтому уравнение Морана принимает вид

3(1/2) d + 2(1/4) d = 1.

Можно подумать, что это уравнение необходимо решать численно, поскольку мы не можем разрешить его относительно d, взяв логарифм от обеих частей равенства. Но в данном случае есть другая возможность, поскольку (1/4) d = ((1/2)2) d = ((1/2) d)2.

Путем введения обозначения (1/2) d = x уравнение Морана приводится к квадратному уравнению

3 x + 2 x 2 = 1.

Применив формулу для корней квадратного уравнения, мы находим x = (−3 ± √17)/4. Поскольку x = (1/2) d – положительное число, мы берем x = (3 + √17)/4. Наконец, чтобы найти значение d, вычислим логарифм от обеих частей равенства

и найдем отсюда d:

Укажем здесь два видоизменения рассмотренной ситуации, хотя существуют и многие другие. Все результаты взяты из нескольких источников, все они собраны в шестой главе моей книги «Фрактальные миры: как их выращивать, выстраивать, воображать»[133].

Сначала рассмотрим случайные фракталы. Это значит, что вместо применения одних и тех же коэффициентов подобия на каждой итерации построения фрактала каждый коэффициент подобия может теперь принимать одно из нескольких значений с заданными вероятностями. В этом случае уравнение Морана выглядит так:

E (rid) +… + E (rNd) = 1,

где E (rid) – среднее значение величины rNd – среднее значение величины. Назовем это стохастическим уравнением Морана.

На рисунке со следующей страницы – случайный фрактал, состоящий из N = 4 частей, каждая из которых имеет коэффициент подобия r = 1/2 с вероятностью 1/2 и r = ¼ с вероятностью 1/2. Тогда для каждой части среднее значение задается формулой

E (rid) = 1/2 (1/2) d + 1/2 (1/4) d.

Снова введем обозначение x = (1/2) d, тогда

x2 = (1/4) d. После чего стохастическое уравнение Морана превращается в квадратное уравнение 2x + 2x2 = 1, откуда получаем размерность

Но что это за число? Разумеется, различные последовательности выбора коэффициентов 1/2 и ¼ дадут нам разные случайные фракталы. Вычисленная нами размерность является средним значением размерностей, которые мы могли бы получить, если бы по тому же алгоритму сгенерировали много фракталов.

Наконец, вернемся к фракталу, изображенному в первой главе. Он получен при помощи четырех преобразований с одинаковыми коэффициентами подобия r = 1/2, но при этом разрешены лишь некоторые их комбинации.

Чтобы это выразить, можно, например, обозначив квадранты фрактала метками 1 (нижний левый), 2 (нижний правый), 3 (верхний левый) и 4 (верхний правый). Разрешенные и запрещенные комбинации можно закодировать в виде матрицы. Порядковый номер строки задает квадрант, а порядковый номер столбца – субквадрант этого квадранта. Например, значение в первой строке и втором столбце соответствует нижнему правому субквадранту внутри нижнего левого квадранта. Число 0 в матрице означает, что соответствующий субквадрант не занят, а число 1 – занят. Тогда матрица, кодирующая показанный выше фрактал, имеет вид

Поскольку все коэффициенты подобия равны r = 1/2, мы получаем уравнение

(1/2) d ρ[M] = 1,

которое можно назвать уравнением Морана с памятью.

Множитель ρ[M] называется спектральным радиусом M. Это наибольшее собственное значение матрицы M. Мы не станем здесь объяснять, как вычисляются собственные значения.

Загляните в любую книгу по линейной алгебре или в Приложения А.83 и А.84 «Фрактальных миров». Для нашей матрицы M собственными значениями являются числа 1±√3, 1 и 1. Количество собственных значений равно числу строк (или столбцов) матрицы, при этом некоторые собственные значения могут повторяться, как в нашем примере собственное значение 1. Спектральный радиус равен ρ[M] = 1 + √3, и, решив уравнение Морана с памятью относительно d,