Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт

зрителю деревню в конкретный момент времени. На следующем кадре деревня остается на том же месте, но дракон – и, соответственно, сетчатка его глаза – немного смещается. Вычисляем, куда именно, повторяем расчет – и получаем следующий кадр. Следуем по маршруту дракона в небесах и кадр за кадром складываем картину того, что он видит.

Гравюра «Художник, рисующий лютню» Альбрехта Дюрера иллюстрирует проецирование трехмерного пространства на двумерный холст

Это не буквальное описание процесса, разумеется, а всего лишь основная идея, лежащая в его основе. Существуют специальные приемы, позволяющие сделать расчеты более эффективными и сэкономить компьютерное время. Для простоты мы их проигнорируем.

Аналогичный расчет применяется и для сцен с приближающимся драконом, наблюдаемых с земли. Здесь нам нужно другое множество точек, определяющее положение дракона в пространстве, а экран, на который все проецируется, находится на земле, а не в глазу дракона. Для определенности возьмем вид со стороны дракона. С его точки зрения, его глаз неподвижен, зато деревня движется. По мере того как дракон подлетает ближе и проходит над деревней, все в ней зрительно увеличивается, она поворачивается и покачивается, повторяя собственные движения дракона. Если дракон взмывает в небеса, деревня уменьшается. Все это время перспектива должна оставаться убедительной, и математический ключ к этому – представление деревни в виде жесткого (и сложного) объекта. Вы можете приблизительно понять, как это происходит, если представите себя драконом, который держит перед глазами некий объект и рассматривает его, отодвигая или придвигая поближе, поворачивая так или этак.

Мы при этом представляем все в драконовой «системе отсчета», которая неподвижна относительно него. Деревня движется как жесткое целое, а это математически означает, что расстояние между любыми двумя ее точками остается неизменным. Но объект как целое может двигаться в пространстве. Существует два основных типа движения: параллельный перенос и вращение. При параллельном переносе объект скользит в некотором направлении, не наклоняясь и не разворачиваясь. При вращении объект поворачивается вокруг неподвижной прямой – оси вращения, и каждая его точка поворачивается на один и тот же угол на плоскости, перпендикулярной оси. Осью может быть любая прямая в пространстве, и угол поворота тоже может быть любым.

Любое жесткое движение является комбинацией параллельного переноса и вращения (но параллельный перенос может осуществляться на нулевое расстояние, а вращение – на нулевой угол, в этих случаях преобразования не производят никакого действия). На самом деле это неправда: существует еще один тип движения – отражение, которое работает по принципу зеркала. Но отражение невозможно получить при помощи непрерывного перемещения, так что про него можно забыть.

Ну вот, мы сделали ключевой шаг на пути превращения летающих драконов в математику. Теперь необходимо понять, как меняются координаты точки в пространстве, когда мы применяем к объекту параллельный перенос или вращение. Сделав это, мы сможем воспользоваться стандартной формулой проецирования результата на плоский экран. Оказывается, параллельный перенос никаких сложностей не представляет. Зато вращение – это большая головная боль.

* * *

В двух измерениях – на плоскости – все намного проще. Евклид формализовал геометрию плоскости примерно в 300 году до н. э. Однако он не прибегал при этом к помощи движений, а использовал конгруэнтные треугольники[6] – треугольники одинаковой формы и размера, различающиеся только положением на плоскости. К XIX веку математики научились интерпретировать такую пару треугольников как жесткое движение, то есть как такое преобразование плоскости, которое переносит первый треугольник на позицию второго. Георг Бернхард Риман определил геометрию через конкретные типы преобразований.

Следуя совсем другим путем, математики смогли также предложить эффективные способы расчета жесткого движения на плоскости – это был неожиданный побочный эффект одного нововведения в алгебре, которое мы уже упоминали в предыдущей главе: комплексных чисел. Чтобы осуществить параллельный перенос (скольжение) фигуры, например PIG (см. рис. в главе 6), мы прибавляем одно и то же комплексное число к каждой ее точке. Чтобы повернуть ее на угол A, мы умножаем каждую точку фигуры на eiA. В качестве вишенки на торте оказалось, что комплексные числа идеальны для решения дифференциальных уравнений физики… но только в двумерном пространстве.

Все это натолкнуло Гамильтона на идею, которая вскоре захватила его. Поскольку комплексные числа так эффективны в двумерной физике, должны существовать и аналогичные им «суперкомплексные» числа, обеспечивающие те же преимущества в трех измерениях. Если бы ему удалось найти новую систему чисел, способную играть эту роль, вся реалистичная физика широко распахнулась бы перед ним. Было даже очевидно, с чего следует начать. Поскольку комплексные числа представляют собой пары действительных чисел, эти гипотетические суперкомплексные числа должны быть тройками действительных чисел. По одному действительному числу на измерение. Формула для сложения таких троек (или триплетов, как Гамильтон их часто называл) была очевидна: достаточно просто сложить соответствующие компоненты. С параллельным переносом разобрались. Оставалось найти способ перемножения триплетов. Но, что бы ни пробовал Гамильтон, с умножением у него ничего не получалось. К 1842 году его настолько захватила эта проблема, что на нее обратили внимание даже дети. Каждый день они спрашивали у отца: «Папа, ты научился перемножать триплеты?» И каждый день Гамильтон отрицательно качал головой. Складывать и вычитать – да, а перемножать – никак.

Зачастую трудно определить точную дату великого математического открытия или прорыва. Дело в том, что у подобных событий нередко длинная и запутанная предыстория. Но иногда и точная дата, и место известны. В данном случае дата – это понедельник, 16 октября 1843 года, а место – Дублин. Можно даже высказать вполне обоснованную догадку о времени, когда это произошло, поскольку Гамильтон, ставший к тому моменту президентом Королевской ирландской академии, шел с женой по тропинке вдоль канала на заседание Совета академии. Когда он остановился передохнуть на Брумском мосту, его осенило. Он увидел решение давней задачи и выцарапал его карманным ножом прямо на камнях моста.

i2 = j2 = k2 = ijk = –1.

С тех пор надпись, конечно, стерлась, но каждый год группа физиков и математиков проходит по «тропе Гамильтона», чтобы сохранить память об этом событии.

Без объяснения эта надпись безнадежно туманна. Даже с объяснением она может показаться нелепой и бессмысленной, но так часто случается с великими математическими открытиями. На их осмысление требуется время. Если бы открытием были комплексные числа, Гамильтон нацарапал бы простое правило: i2 = –1. В этом уравнении – ключ ко всей системе комплексных чисел, все остальное вытекает из него, если поставить условие, что обычные правила арифметики должны соблюдаться и здесь. Добавьте к i еще j и k, и окажется, что формула Гамильтона определяет более широкую систему чисел, или, если вам