Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

времени. Две сталкивающиеся молекулы, наскакивающие друг на друга с количествами движения A, B и разлетающиеся с количествами движения A′, B′ (рис. 9.8 слева), делают это по Ньютону, под управлением действующей между ними силы, которая сложно зависит от расстояния. Но если в конечных состояниях A′, B′ заменить скорости обеих молекул на точно противоположные (см. рис. 9.8 справа), то под управлением тех же законов они превосходно проделают эволюцию в обратную сторону по времени и придут в состояния, которые отличаются от A, B только развернутыми на 180° скоростями. Столкновение каждой пары молекул, обменивающихся энергией и количеством движения, подчинено точным законам, которые не нарушатся, если «запустить фильм в обратную сторону». Каждое отдельное взаимодействие молекул дружит с обращением времени, но собранные вместе они не дружат совсем: время течет в ту сторону, где раздробленное движение расползается по большему числу возможностей. Капля чернил в воде со временем распространяется по всей чашке, но, если вода и чернила уже перемешаны, не стоит ожидать, что через какое-то время чернила соберутся в одном месте, оставив вокруг себя чистую воду. Не говоря уже о том, что осколки разбившейся чашки не собираются вместе. (В отличие от сталкивающихся молекул, мы довольно уверенно различаем прошлое и будущее по совокупности таких признаков.) Можно ли вывести необратимое поведение из законов Ньютона? Конечно, следить за отдельными молекулами никто не собирается, но из законов Ньютона – при несколько рафинированных, но часто реализуемых на практике предположениях – на правах теоремы следуют правила, определяющие, как могут меняться со временем величины, описывающие массовое поведение молекул. Эти-то правила и требуется применить. Интрига, однако, усложняется, потому что про массовое поведение молекул приходится дополнительно постулировать еще что-то – для изолированных систем, как мы видели, это равновероятность. С учетом всего этого действительно ли величина, определяемая формулой на надгробии Больцмана, возрастает вследствие известных законов и уже сделанных предположений о движении молекул?

Рис. 9.8. Слева: столкновение молекул, в результате которого они переходят из состояний A, B в состояния A′, B′, управляется действующей между ними силой. Справа: если начать с конца, поменяв скорости на противоположные, то под управлением той же силы пара молекул придет в начальное состояние, только с противоположно направленными скоростями

С больцмановской энтропией оказалось все хорошо, когда все просто, и не очень хорошо, когда все сложно. Процессы, в которых видимая нами макроскопическая картина может развиваться со временем только одним способом, называются детерминистскими, и вот хорошая новость: во всех детерминистских процессах энтропия, определенная по Больцману, не может (математически не может) убывать, так что гармония между принципами и практикой установлена. В таких случаях каждый способ расселения молекул по состояниям, отвечающий исходной макроскопической картине, эволюционирует в какой-то из множества способов расселения, отвечающих финальной макроскопической картине. Но все не так хорошо, когда различные реализации исходной картины могут эволюционировать к реализациям разных финальных картин. Такая ситуация означает, что и макроскопический процесс является недетерминистским: в нем возможны различные исходы, каждый с некоторой вероятностью. Организовать такое не так уж и сложно – например, поместив каплю чернил в воду и разглядывая какой-то небольшой объем жидкости в микроскоп. Здесь важно, что в микроскоп молекул заведомо не видно, поэтому, несмотря на присутствие корня «микро», глядя в микроскоп, мы все равно видим макроскопическую картину. Здесь-то и неприятность. Мы можем заинтересоваться тем, прозрачен или непрозрачен выбранный крохотный объем воды. Или три каких-то объема. Характер диффузии чернил в воде таков, что эти очень небольшие объемы воды могут становиться и более мутными, и более прозрачными; если мы повторяем опыт, начиная с одной и той же макроскопической картины, и фиксируем состояния выбранных объемчиков, мы можем получать разные результаты. Ставшее мутным (смешивание произошло, энтропия увеличилась) может через некоторое время оказаться более прозрачным (энтропия понизилась).

А это значит, что энтропия подвержена флуктуациям: ее значения могут спонтанно изменяться в некоторых пределах, причем в обе стороны. Пока мы отказывались наблюдать за системой в слишком больших подробностях, она для нас эволюционировала детерминистски, стремясь к максимуму энтропии – равновесию, которое в этом случае одно-единственное при заданных условиях. Но если мы особенно привередливы и желаем следить за достаточно мелкими деталями, то мы можем обнаружить флуктуации энтропии; то, что в крупную клетку выглядело как одна-единственная равновесная макроскопическая картина, теперь может оказаться набором нескольких картин, между которыми система каким-то образом переходит. Выбор пути развития – с возрастанием или с убыванием энтропии – становится тогда вопросом вероятностей; возрастание энтропии оказывается более вероятным вариантом, чем убывание, но и только. Правда, намного более вероятным. Если, например, сначала имелась картина с энтропией, выражаемой «коротким числом» X = 80, а нас интересует возможность перехода системы к более низкоэнтропийной картине, для которой X = 70, то вероятность такого развития событий содержит множитель 270–80 = 2–10 ≈ 0,001. Чем сильнее различаются значения буквы X «до» и «после», тем ниже вероятность: например, 2–20 ≈ 0,00000095 (около одной миллионной)[181].

Можно ли умерить свое беспокойство за закон возрастания энтропии, установив, что энтропия возрастает хотя бы в среднем? «В среднем» здесь снова понимается «как в казино»: при наличии нескольких макроскопических исходов мы берем изменение энтропии для каждого исхода и умножаем его на вероятность этого исхода; все, что получится, складываем. Могут ли слагаемые с отрицательным изменением энтропии «пересилить»? В начале 1970-х гг. выяснилось, что в принципе больцмановская энтропия может убывать даже в среднем. Есть, однако, две утешительные новости. Во-первых, убывание в среднем не может быть любым, оно ограничено некоторым выражением, составленным из вероятностей появления различных макроскопических картин. Во-вторых, в случае недетерминистских процессов можно несколько «улучшить Больцмана» – модифицировать его выражение для энтропии, внедрив в него те самые вероятности переходов между макроскопическими картинами таким образом, чтобы по-новому определенная энтропия уже никогда не убывала.

Идея «поправить» определение энтропии отражает метания между ненаблюдением выраженных случаев убывания энтропии и желанием получить это неубывание из первопринципов: если при некотором выборе первопринципов и выражения для энтропии получается не совсем то поведение, которое хотелось бы получить, то, может быть, мы где-то недоугадали? Модифицировать определение энтропии, внося в него вероятности развития всей системы от одной макроскопической картины к другим, может показаться не самым изящным решением, потому что такая новая энтропия зависит уже не только от числа состояний, доступных молекулам (хотя и всегда возрастает). В пределах наблюдаемого нами