Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Геометрия комплексной плоскости в декартовых и полярных координатах. Здесь cos и sin – тригонометрические функции косинус и синус. (Рисунок, по существу, определяет эти функции.)
Декартовы координаты идеальны для описания движения невращающихся объектов. Если точка x + iy смещается на a единиц по горизонтали и на b единиц по вертикали, она оказывается в точке (x + iy) + (a + ib). Если распространить эту идею на множество точек со списком значений для x и y, то все множество сдвинется на a единиц по горизонтали и на b единиц по вертикали в случае добавления фиксированного комплексного числа a + ib к каждой его точке. Более того, это жесткое движение: весь объект движется целиком, не меняя ни формы, ни размера.
Еще одним типом жесткого движения является вращение. Здесь объект опять же не меняет ни формы, ни размера, но изменяет ориентацию, поворачиваясь на некоторый угол вокруг центральной точки. Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что умножение на i поворачивает точки на 90º вокруг центра в начале координат. Именно поэтому ось y, представляющая мнимую часть y числа z, расположена под прямым углом к оси x, которая представляет действительную часть x. (Несмотря на название, мнимая часть – это действительное число: она становится мнимой, когда мы умножаем ее на i, чтобы получить iy.)
Если мы хотим повернуть множество точек на 90°, то умножаем каждую точку этого множества на i. В более общем случае если мы хотим повернуть множество точек на угол A, то небольшое упражнение в тригонометрии покажет, что нужно умножить все точки множества на комплексное число
cos A + i sin A.
Параллельный перенос (слева) и поворот (справа) множества точек PIG с использованием комплексных чисел
Эйлер нашел замечательную и красивую связь между этим выражением и комплексным аналогом экспоненциальной функции ex, где e = 2,71828… – основание натурального логарифма. Мы можем определить экспоненциальную функцию ez комплексного числа z таким образом, чтобы она обладала теми же базовыми свойствами, что действительная экспонента, и совпадала с ней при действительном z. Оказывается, что
eiA = cos A + i sin A.
Элегантный способ понять, почему это происходит, состоит в использовании дифференциальных уравнений. Я поместил его в Примечания{50}, потому что выглядит все это слишком формально.
Представление комплексного числа в полярных координатах выглядит следующим образом:
r(cos A + i sin A) = reiA.
Получилась очень простая и компактная формула.
Красота геометрии комплексных чисел заключается в том, что они имеют сразу две естественные координатные системы – декартову и полярную. Параллельный перенос в декартовых координатах описывается простой формулой, но в полярных координатах порождает путаницу. Поворот, напротив, в полярных координатах описывается простой формулой, зато в декартовых порождает путаницу. Пользуясь комплексными числами, вы можете сами выбирать, какое их представление лучше всего отвечает вашим целям.
Эти геометрические свойства комплексной алгебры можно было бы использовать в двумерной компьютерной графике, но оказывается, что, поскольку геометрия на плоскости проста, а компьютеры легко просчитывают громоздкие формулы, большой выгоды вы от этого не получите. В главе 7 мы увидим, что в случае компьютерной графики в трех измерениях аналогичный фокус творит чудеса. Однако пока мы завершим историю комплексных чисел рассказом о некоторых по-настоящему полезных сферах их применения.
* * *
Математики постепенно пришли к пониманию, что, несмотря на отсутствие очевидной физической интерпретации, комплексные числа часто оказываются проще, чем действительные, и проливают свет на такие свойства действительных чисел, которые в противном случае вызывают недоумение. Например, как заметили Кардано и Бомбелли, квадратные уравнения имеют либо два действительных корня, либо ни одного, а кубические уравнения – либо одно действительное решение, либо три. С комплексными решениями все намного проще: квадратные уравнения всегда имеют два комплексных решения, а кубические – всегда три. Можно, кстати говоря, продолжить: уравнения 10-й степени имеют 10 комплексных решений, а вот действительных решений у них может быть 10, 8, 6, 4, 2 или ни одного. В 1799 году Гаусс доказал давно подозреваемый факт, гипотезу о котором выдвинул Петр Рот еще в 1608 году и который получил известность как основная теорема алгебры: полиномиальное уравнение степени n имеет n комплексных корней. Все стандартные функции анализа, такие как экспонента, синус, косинус и т. п., имеют естественные комплексные аналоги, и при рассмотрении этих функций в комплексном варианте их свойства, как правило, становятся проще.
Одним из практических следствий этого стало превращение комплексных чисел в стандартные инструменты в электронике, в первую очередь потому, что они обеспечивают элегантный и простой способ работы с переменными токами. Электричество – это поток электронов, заряженных элементарных частиц. В постоянном токе, который дает, например, батарейка, электроны движутся в одном направлении. В переменном токе, который безопаснее и потому широко используется в электрических сетях, электроны снуют попеременно туда и сюда. График напряжения (и тока) в такой сети выглядит как кривая косинуса в тригонометрии.
Получить такую кривую можно, если последить за точкой на ободе вращающегося колеса. Предположим, для простоты, что радиус этого колеса равен 1. Если посмотреть на горизонтальную проекцию траектории нашей точки, то окажется, что она движется из стороны в сторону, достигая значений +1 и –1 в крайних положениях. Если колесо вращается с постоянной скоростью, то график горизонтального отклонения представляет собой кривую косинуса, а график вертикального отклонения – кривую синуса (кривые на рисунке, проведенные черными линиями).
Вращение на комплексной плоскости в проекции дает периодические колебания. Прибавление B к углу A сдвигает графики влево: это так называемый фазовый сдвиг
Положение движущейся точки характеризуется парой действительных чисел (cos A, sin A), где A – угол между направлением на точку и горизонтальной осью. Воспользовавшись приемом Гамильтона, можно представить эту пару как комплексное число cos A + i sin A. С изменением угла A это число движется оборот за оборотом вдоль единичной окружности на комплексной плоскости. Если мы измеряем углы в радианах, то полный оборот точка совершает при увеличении A от 0 до 2π. Следующий оборот происходит, когда A возрастает от 2π до 4π, и т. д., так что движение точки носит периодический характер с периодом 2π.
Формула Эйлера подразумевает,
