Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Мы можем проделать эту операцию для каждого направления оригинальной серии сканов. Обратная формула Радона говорит, что, если наклонить все эти полосатые картинки на соответствующий угол и наложить друг на друга, так чтобы в каждой точке оттенки серого сложились, то результат – надлежащим образом отмасштабированный – покажет первоначальное распределение внутренних органов. На следующем рисунке видно, как это работает, если первоначальное изображение – квадрат и мы восстанавливаем его при помощи обратной проекции с нескольких (от 5 до 100) направлений. Чем больше направлений, тем лучше результат.
Слева: квадрат. В середине: обратная проекция с пяти направлений. Справа: обратная проекция со 100 направлений[8]
Восстановив распределение тканей в одном срезе, мы сдвигаем тело вдоль оси прибора на небольшое расстояние и проделываем эту же операцию еще раз. И еще, и еще, пока не нарежем тело условными плоскостями на ломти, как батон внарезку. После этого можно собрать ломтики, сложить их в компьютере и получить полное описание трехмерного распределения тканей. Этот метод определения трехмерной структуры по серии двумерных срезов известен как томография и давно используется микроскопистами, поскольку позволяет заглянуть внутрь твердых объектов, таких как насекомые или растения. Объект при этом заливают воском, а затем отрезают от него тончайшие ломтики при помощи устройства, похожего на миниатюрную машинку для нарезки колбасы и называемого микротомом (от греческих слов micros – «маленький» + temnein – «резать»). КТ-сканеры используют эту же идею, разве что «нарезку» здесь производит не микротом, а рентгеновские лучи при помощи математических фокусов.
После этого остается только прибегнуть к рутинным математическим методам обработки трехмерных данных и получения всевозможной информации. Мы можем посмотреть, как выглядели бы ткани на сечении, взятом под совершенно другим углом, или показать только ткани определенного типа, или обозначить условными цветами мышцы, органы и кости. В общем, любые украшательства, на ваш вкус. Главные инструменты здесь – стандартные методы обработки изображений, опирающиеся в конечном итоге на трехмерную координатную геометрию.
На практике все далеко не так просто. Сканер, конечно, делает не бесконечное число снимков с непрерывного множества направлений, а просто большое конечное их число с близких дискретных направлений. Алгоритмы математической обработки приходится модифицировать, чтобы учесть этот факт. Полезно, например, фильтровать данные, чтобы избежать помех на изображении, возникающих в результате использования дискретного множества направлений. Но базовый принцип остается тем же, что выработал Радон более чем за 50 лет до изобретения первого сканера. Английский инженер-электрик Годфри Хаунсфилд построил первый работоспособный сканер в 1971 году. Теорию разработал в 1956–1957 годах американский физик южноафриканского происхождения Аллан Кормак, а опубликована она была в 1963–1964 годах. В то время Кормак не знал о результатах Радона, так что он вывел все, что требовалось, самостоятельно, но позже наткнулся на статью Радона, которая носит более общий характер. Разработка метода и прибора для компьютерной томографии принесла Хаунсфилду и Кормаку в 1979 году Нобелевскую премию по физиологии и медицине. Их аппарат стоил $300. Сегодня стоимость коммерческого КТ-сканера составляет порядка $1,5 млн[9].
Сканеры используются не только в медицине. Египтологи, например, теперь привычно прибегают к их помощи при изучении мумий. Они могут осмотреть скелет и оставшиеся внутренние органы, поискать признаки переломов и болезней и выяснить, где спрятаны религиозные амулеты. Музеи часто добавляют в свои экспозиции виртуальные мумии, снабдив их тачскрином, которым могут управлять посетители: они могут сами снять полотняные пелены слой за слоем, затем удалить кожу, затем мышцы, пока не останутся одни кости. Все это делается при помощи математики, воплощенной в компьютере: трехмерная геометрия, обработка изображения, методы отображения графической информации.
Существует немало и других типов сканеров. Есть ультразвуковые аппараты; аппараты позитронно-эмиссионной томографии (ПЭТ), регистрирующие элементарные частицы, испускаемые радиоактивными веществами, которые вводятся в организм; магнитно-резонансные томографы (МРТ), регистрирующие магнитные эффекты в ядрах атомов. Последние одно время называли сканерами на эффекте ядерного магнитного резонанса (ЯМР), пока рекламщики не сообразили, что слово «ядерный» может отпугивать людей. И у каждого типа сканера своя математическая история.
10
Улыбнитесь, пожалуйста!
Единственная задача камеры – не мешать процессу создания фотографии.
КЕН РОКУЭЛЛ.
Ваша камера не имеет значения
Каждый год человечество загружает в интернет около триллиона фотографий. Судя по этой цифре, мы излишне оптимистично оцениваем интерес других людей к нашим отпускным селфи, родившемуся в семье ребенку и другим объектам, некоторые из которых даже упоминать не стоит. А снимают сейчас все: делается это быстро и просто, а в телефоне у каждого имеется камера. В работе и производстве этих камер огромную роль играет математика. Крохотные высокоточные объективы – настоящее чудо техники, невозможное без сложнейшей математической физики, связанной с преломлением света трехмерными телами с изогнутыми поверхностями. В этой главе я хочу сосредоточиться всего на одном аспекте современной фотографии: сжатии изображений. Цифровые камеры, самостоятельные или встроенные в телефон, хранят очень подробные изображения в виде двоичных файлов. Создается впечатление, что карты памяти способны хранить больше информации, чем должно на них помещаться. Как же удается заключить так много детальных картинок в небольшой компьютерный файл?
Фотографические изображения содержат много избыточной информации, которую можно удалить без потери точности. Математика позволяет делать это тщательно выстроенными способами. Стандарт JPEG в небольших цифровых камерах типа «навел и щелкнул», который до самого недавнего времени был самым распространенным форматом файлов и до сих пор используется очень широко, предусматривает пять математических преобразований, выполняемых последовательно. В них задействован дискретный фурье-анализ, алгебра и теория шифрования. Все эти преобразования заложены в программное обеспечение камеры, которое сжимает данные, прежде чем записать их на карту памяти.
Если, конечно, вы не предпочитаете данные в формате RAW – по существу, это непосредственно то, что камера считала с матрицы. Емкость карт памяти растет так быстро, что сжимать файлы уже нет абсолютной необходимости. Но в этом случае вам в конечном итоге приходится манипулировать изображениями объемом по 32 мегабайта каждое, тогда как раньше они имели вдесятеро меньший размер, да и в «облако» такие файлы загружаются много медленнее. Стоит ли этим заморачиваться, зависит от того, кто вы и для чего нужны фотографии. Если вы профессионал, это для вас,
