Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт

стеклянной трубке и наблюдал слабое свечение, лучше всего заметное в темноте. Свои результаты он представил в Лондонском королевском обществе. К 1869 году физики, экспериментировавшие в модной к тому моменту области разрядных трубок, заметили новое необычное излучение, названное катодными лучами, поскольку оно исходило от катода (отрицательного электрода) трубки. В 1893 году профессор физики Фернандо Санфорд опубликовал статью, посвященную «электрической фотографии». Он соорудил трубку с тонким алюминиевым листом с одного конца и прорезал в этом листе отверстие. При подаче тока то, что вызывало слабое свечение, проходило сквозь это отверстие, попадало на фотопластинку и воспроизводило на ней форму отверстия. Его открытие было описано в прессе – в газете San Francisco Examiner появился заголовок «Без объектива и света, фотографии получены при помощи пластинки и объекта в темноте». Это было поразительно, непонятно и, судя по всему, бесполезно, но физики заинтересовались и стали выяснять, что происходит.

Рентген понял, что странное свечение вызывается каким-то излучением, сходным со светом, но невидимым. Он назвал это излучение X-лучами, где символ X, по освященной временем традиции, указывал на неизвестность его природы. Судя по всему – мы не можем быть в этом совершенно уверены, поскольку записные книжки Рентгена не сохранились, – он случайно обнаружил, что эти лучи способны проходить сквозь лист картона. Это заставило его задаться вопросом о том, сквозь что еще они могут проходить. Сквозь алюминиевую фольгу, очевидно, нет, поскольку на фотографии были видны лишь контуры отверстия. Сквозь книгу – да, сквозь научные статьи – да, сквозь руку жены – да. X-лучи представляли собой беспрецедентное окно, позволявшее заглянуть в живое человеческое тело. Рентген сразу же увидел их медицинский потенциал, и средства массовой информации не замедлили разнести эту новость. В 1896 году журнал Science опубликовал 23 статьи по рентгеновским лучам, а всего в том году этим лучам было посвящено более тысячи научных работ.

Вскоре выяснилось, что рентгеновские лучи хотя и не наносят очевидного ущерба, могут при многократном или длительном воздействии вызывать ожоги кожи и выпадение волос. Как-то раз в лабораторию Университета Вандербилта привезли ребенка, которому выстрелили в голову, и Джон Дэниел сделал рентгеновский снимок его головы с экспозицией в один час. Три недели спустя он заметил на голове ребенка лысинку в том месте, где он размещал рентгеновскую трубку. Несмотря на подобные свидетельства, многие врачи верили в безопасность рентгеновских лучей, а нанесенный ущерб списывали на ультрафиолетовое излучение или озон до тех пор, пока американский рентгенолог Элизабет Флейшман не умерла в 1905 году от осложнений, вызванных рентгеновским излучением. Медицинское использование рентгеновских лучей продолжалось, но с большей осторожностью, к тому же появление более качественных фотографических пластинок позволило снизить время экспозиции. Сегодня мы признаем, что, какими бы полезными для медиков ни были рентгеновские лучи, суммарную дозу излучения следует как можно сильнее ограничивать. Это понимание пришло не сразу. В 1950-е годы, когда мне было около 10 лет, я помню обувные магазины с рентгеновским аппаратом, который позволял при примерке новых туфель посмотреть, насколько хорошо они соответствуют форме ступни.

Недостатков у рентгеновских снимков хватало. Они были черно-белыми: черные области соответствовали тем местам, где лучи не проникали сквозь преграду, белые – тем местам, где проникали, а полутени соответствовали частичной проницаемости материала. Или, чаще, наоборот, поскольку изготовить фотографический негатив всегда проще. Кости были ясно видны, мягкие ткани по большей части не видны. Но самым серьезным недостатком была двумерность изображения. По существу, снимок уплощал внутреннюю картину, и изображения всех органов, располагавшихся между источником рентгеновских лучей и фотопластинкой, накладывались друг на друга. Можно было, конечно, попытаться сделать несколько рентгеновских снимков с разных ракурсов, но в любом случае интерпретация результатов требовала серьезных навыков и опыта, а дополнительные снимки увеличивали дозу радиации.

Возникал вопрос: нельзя ли как-то получить изображение внутренних тканей организма в трех измерениях?

* * *

Вообще-то, к тому моменту математики уже сделали несколько фундаментальных открытий, имеющих к этому вопросу непосредственное отношение, и показали, что если сделать множество двумерных «уплощенных» изображений с разных направлений, то можно выстроить трехмерную структуру изображенного объекта. Однако подталкивали их к этому вовсе не рентгеновские лучи и не медицина. Они просто исследовали метод, придуманный для решения задач, связанных с волнами и тепловыми потоками.

Среди действующих лиц этой истории было немало настоящих звезд, начиная с Галилея, который спускал шары по наклонной плоскости и наблюдал восхитительно простые математические закономерности, связывавшие пройденное расстояние и время, и Ньютона, открывшего фундаментальные закономерности движения планет. Ньютон вывел обе закономерности из математических уравнений, описывающих движение системы тел под действием сил. В своем монументальном труде «Математические начала натуральной философии», которые обычно называют просто «Началами», Ньютон объяснял свои идеи через классическую геометрию, но «самая чистая» их математическая формулировка пришла из другого его открытия – дифференциального и интегрального исчисления, которое независимо от Ньютона открыл также Готфрид Вильгельм Лейбниц. При такой интерпретации Ньютон понял, что фундаментальные законы природы можно выразить и другими уравнениями, в которых речь идет о скорости изменения величин во времени. Так, скорость движения объекта есть скорость изменения его положения, или координат, а ускорение объекта есть скорость изменения его скорости.

Закономерности Галилея выглядят проще всего, когда выражены через ускорение: катящийся шар движется с постоянным ускорением. Его скорость, таким образом, увеличивается с постоянной скоростью – возрастает линейно. Его положение определяется равномерно увеличивающейся скоростью, то есть, если шар начинает движение из состояния покоя в момент времени нуль, его координата пропорциональна квадрату прошедшего времени. Ньютон соединил эту идею с другим простым законом об обратной пропорциональности силы тяготения квадрату расстояния и вывел в результате, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, объяснив таким образом более ранние эмпирические выводы Иоганна Кеплера.

Математики континентальной Европы ухватились за эти открытия и применили дифференциальные уравнения к широкому спектру самых разных физических явлений. Волны на воде и звуковые волны подчиняются волновому уравнению, электричество и магнетизм тоже имеют собственные уравнения, сильно напоминающие уравнение гравитации. Многие из них являются дифференциальными уравнениями в «частных» производных, которые позволяют соотнести скорость изменений в пространстве со скоростью изменений во времени. В 1812 году Французская академия наук объявила, что темой ее ежегодного призового конкурса будет теплопередача. Нагретые тела остывают, и тепло распространяется через материалы, способные его проводить, – вот почему металлическая ручка кастрюли может сильно нагреться, пока содержимое готовится. Академия хотела получить математическое описание этого процесса, и дифференциальные уравнения в частных производных представлялись вполне правдоподобными кандидатами на решение, потому что распределение теплоты меняется как в пространстве, так и во времени.

Жозеф Фурье отправил в Академию статью о теплопередаче еще в 1807 году, но ее