Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
В традиционной теории множеств объект (такой как число) либо принадлежит конкретному множеству, либо не принадлежит. В теории нечетких множеств существует точная численная мера степени его принадлежности множеству. Так что число 2 может, в принципе, принадлежать множеству наполовину или, скажем, на треть. Если такая мера равна 1, число определенно принадлежит множеству, а если она равна 0 – определенно не принадлежит. Если оставить только значения 0 и 1, получится традиционная теория множеств. Если разрешить этой мере принимать любые значения между 0 и 1, степень нечеткой принадлежности захватит серую зону между двумя этими крайними значениями.
Некоторые видные математики сразу отбросили эту идею под тем предлогом, что теория нечетких множеств – это просто замаскированная теория вероятностей или что логика большинства людей и без того нечеткая, а потому ни к чему делать такой и математику. Вопрос о том, что заставляет некоторых ученых поспешно отбрасывать новые идеи, всегда ставит меня в тупик, особенно в ситуации, когда их возражения лишены смысла. Никто не предлагал заменять стандартную логику на нечеткую. Нечеткая логика предлагалась всего лишь как дополнительный инструмент в математическом арсенале. Хотя на первый взгляд нечеткие множества действительно напоминают вероятности, подчиняются они иным правилам, и интерпретация там тоже иная. Если число принадлежит множеству с вероятностью 1/2 и вам нравится частотный подход к вероятностям, то вы говорите, что при многократном повторении эксперимента число будет принадлежать этому множеству примерно в половине случаев. Если вы сторонник байесовского подхода, то будете считать, что число принадлежит множеству на 50 %. Но в теории нечетких множеств элемент случайности отсутствует. Число определенно принадлежит множеству, но степень его принадлежности не равна 1. Она в точности равна 1/2. Что касается презрительного замечания о плохой логике, то заметим: в нечеткой логике есть точные правила, и любые рассуждения, в которых она используется, либо верны, либо нет – в зависимости от того, выполняются ли в них эти правила. Мне кажется, слово «нечеткая» внушает некоторым мысль о том, что сами правила там легко поддаются воздействию и плохо определены. Это не так.
Другой вопрос, способный еще больше замутить воду, состоит в том, добавляют ли нечеткие множества и нечеткая логика что-нибудь ценное в математику. Ведь совсем несложно придумывать обширные формальные системы, которые оказываются немногим лучше нагромождения бессмысленных формул, то есть «абстрактной чепухи». Подозреваю, что искушение увидеть в детище Заде нечто подобное было довольно сильным, особенно поскольку основы теории едва ли можно назвать глубокими или сложными. В то же время если доказательством пудинга может быть только его употребление, то ценность математики можно установить разными способами, лишь в одном из которых фигурирует ее интеллектуальная глубина. Другим, довольно показательным в свете этой книги фактором является полезность. И надо сказать, что многие почти тривиальные математические идеи оказались в конечном итоге чрезвычайно полезными. Десятичная запись чисел, например. Она блестяще, новаторски, умно меняет правила игры, но никакой особой глубины в ней нет. Даже ребенок способен это понять.
Нечеткая логика и теория нечетких множеств, пожалуй, тоже не удовлетворяют критерию глубины, по крайней мере в сравнении с гипотезой Римана или Великой теоремой Ферма. Но они оказались очень, очень полезными. Они выходят на первый план всякий раз, когда мы не до конца уверены в точности информации, которую получаем из наблюдений. Сегодня нечеткая математика широко применяется в таких областях, как лингвистика, принятие решений, анализ данных и биоинформатика. Она используется, когда способна сделать дело лучше любого альтернативного метода, в остальных же случаях ее можно спокойно игнорировать.
Я не хочу вдаваться в подробности теории нечетких множеств, которые не нужны, чтобы оценить по достоинству наш второй проект. Мы опробовали несколько методов, позволяющих предсказать, что пружинонавивочная машина вот-вот начнет выдавать некачественные пружины, и соответствующим образом изменить настройки. Один из этих методов известен в отрасли как модель нечеткой идентификации Такаги – Сугено и назван в честь инженеров Томахиро Такаги и Митио Сугено{58}.
Эффект подключения контроллера нечеткой самонастройки. Слева направо идет подсчет изготовленных пружин. Вверху: измеренные длины пружин. Внизу: работа контроллера, измеренная числом включений исполнительного двигателя контроллера. Пружины 1–400 изготавливаются без участия контроллера, и длины их варьируют довольно сильно. Пружины 401–800 навиты при включенном контроллере, и вариативность их длин заметно ниже
Это устройство реализует в строгом формальном контексте нечеткой математики систему правил, которые сами по себе являются нечеткими. В данном случае эти правила принимают вид «если измерение (нечеткое, тут никуда не денешься) длины текущей пружины равно X, следует изменить настройки навивочной машины методом Y». Эти правила принимают во внимание предыдущую поправку, а также оценку возмущений, вызванных изменчивостью свойств проволоки, износом рабочих органов машины и т. п. Все данные носят нечеткий характер, и такой же характер носят предпринимаемые действия. Математический аппарат обрабатывает все это автоматически и подстраивает машину на ходу.
Для нашего проволочного проекта мы опробовали три метода управления. Сначала мы погоняли машину с выключенной системой управления, чтобы установить базовые параметры, по которым можно оценить эффективность любого контроллера. Полученные данные помогли также уточнить параметры в математических моделях. Затем мы подключили к машине интегральный контроллер, в котором для предсказания изменений в настройках от одной навивки к другой используется фиксированная математическая формула. И наконец, мы применили нечеткое самонастраивающееся управление, в котором тонкая настройка правил происходит на ходу в соответствии с наблюдаемыми длинами пружин. Проделав все вышеперечисленное с проволокой из углеродистой стали, мы получили следующие результаты: стандартное отклонение длин пружин – мера их изменчивости – составила 0,077 вообще без контроллера, 0,065 с интегральным контроллером и 0,039 с нечеткой самонастройкой. Так что метод нечеткой логики сработал лучше всего и уменьшил изменчивость наполовину.
* * *
Еще один базовый принцип математики состоит в том, что если вам удалось найти что-то полезное, то использовать это можно везде. Идея, доказавшая свою ценность, зачастую может пригодиться в похожих, но все же иных обстоятельствах. Наш третий проект, тоже часть DYNACON, вновь вернулся к FRACMAT, но при этом мы усовершенствовали тестовое устройство так, чтобы использовать его в другом бизнесе, близком к производству пружин, но имеющем дело не с проволокой, а с полосовым металлом.
У вас дома почти наверняка есть вещи, изготовленные из полосового металла. В Великобритании, например, в каждой
