Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Это всего лишь два случая практического применения преобразования Фурье и его многочисленной родни. В числе других можно назвать улучшение радиоприема, устранение шума, создаваемого царапинами на старых виниловых пластинках, улучшение эффективности и чувствительности гидролокационных систем, используемых подводными лодками, и устранение нежелательных колебаний в автомобилях на стадии их конструирования.
И все это, как вы можете заметить, не имеет никакого отношения к теплопередаче. Непостижимая эффективность. Главное – это не физическая интерпретация задачи, хотя она вполне могла серьезно повлиять на оригинальную работу, а ее математическая структура. Одни и те же методы применяются при решении задач с одинаковой или похожей структурой, и здесь на сцене появляются сканеры.
Математиков тоже заинтересовало преобразование Фурье, и они перевели его на язык функций. В общем случае функция – это математическое правило превращения одного числа в другое, например «возведение в квадрат» или «извлечение кубического корня». Все традиционные функции, такие как многочлены, корни, экспоненты, логарифмы, и тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) включены в это понятие, но могут существовать и более сложные «правила», которые не выражаются формулами, – взять хотя бы прямоугольный импульс, принесший Фурье так много огорчений.
С этой точки зрения преобразование Фурье берет функцию одного типа (первоначальный сигнал) и преобразует ее в функцию иного типа (список частот). Существует также обратное преобразование, компенсирующее действие прямого. А их двойственность – тот факт, что обратное преобразование почти совпадает с прямым, – представляет собой первоклассный бонус. Корректным контекстом для подобных вещей являются пространства функций с определенными свойствами: функциональные пространства. Гильбертовы пространства, используемые в квантовой теории (глава 6), – это функциональные пространства, где значениями функций являются комплексные числа, а их математика находится в близком родстве с математикой преобразования Фурье.
Математики-исследователи неизменно приобретают устойчивый рефлекс. Когда предлагают новую идею, обладающую замечательными и полезными свойствами, они сразу же задумываются, а нет ли аналогичных идей, которые использовали бы тот же прием в иных обстоятельствах. Существуют ли другие преобразования, подобные преобразованию Фурье? Другие варианты двойственности? Специалисты по теоретической математике ищут ответы на эти вопросы абстрактными и обобщенными способами, тогда как прикладники (а также инженеры, физики и бог знает кто еще) сразу начинают думать о том, как все это можно использовать. В данном случае хитроумный прием Фурье положил начало целой отрасли преобразований и двойственностей, не исчерпавшей свои возможности и по сей день.
* * *
Одна из вариаций на тему Фурье открыла нам путь к современным медицинским сканерам. Ее изобретателем был Иоганн Радон. Родился он в 1887 году в городе Течен в Богемии, области Австро-Венгрии (ныне это Дечин в Чешской Республике). По всем отзывам это был дружелюбный и симпатичный человек, спокойный, воспитанный и легко сходившийся с другими. Подобно многим ученым и людям свободных профессий, он любил музыку, а в те времена, до появления радио и телевидения, люди часто собирались у кого-нибудь дома и музицировали. Радон хорошо играл на скрипке и прекрасно пел. Как математик, он поначалу работал над вариационным исчислением – именно ему была посвящена его докторская диссертация – и естественным образом переключился на новую быстро растущую область функционального анализа. В этой области, начало которой положили польские математики под руководством Стефана Банаха, ключевые идеи классического анализа интерпретировались заново с точки зрения функциональных пространств бесконечной размерности.
На начальном этапе развития математического анализа математики сосредоточивались на вычислении таких вещей, как производная функции, то есть скорость ее изменения, и ее интеграл, то есть площадь под графиком функции. С развитием предмета фокус сместился на общие свойства операций дифференцирования и интегрирования и на то, как они ведут себя в случае комбинации функций. Если сложить две функции, что произойдет с их интегралами? На передний план вышли особые свойства функций. Непрерывна ли функция (нет ли у нее скачков)? Дифференцируема ли она (плавно ли изменяется)? Интегрируема ли (имеет ли смысл площадь)? Как связаны друг с другом эти свойства? Как все это работает, если взять предел последовательности функций или сумму бесконечного ряда? Какого рода предел или сумму?
Банах и его коллеги сформулировали эти более общие вопросы с точки зрения «операторов». Точно так же, как функция превращает одно число в другое, оператор превращает функцию в число или в другую функцию. Примеры – «взять интеграл» или «продифференцировать». Польские и другие математики обнаружили, что можно взять теоремы о числовых функциях и превратить их в теоремы об операторах функций. Получившееся в результате утверждение может быть истинным, а может и не быть: самое интересное здесь – понять, что, собственно, происходит. Идея получила развитие, потому что довольно скучные теоремы о функциях превращаются в очевидно более глубокие теоремы об операторах, но при этом доказать их зачастую можно теми же простыми методами. Еще один прием состоял в отбрасывании формальных вопросов о том, как интегрировать сложные формулы с синусами, логарифмами и т. п., и в переосмыслении основ. Чем на самом деле занимается математический анализ? Самым фундаментальным вопросом анализа оказалось измерение близости двух чисел. Она определяется разностью между ними в том порядке, который позволяет сделать разность положительной. Функция непрерывна, если маленькая разность между числами на входе дает маленькую разность между числами на выходе. Чтобы найти производную функции, нужно увеличить переменную на маленькую величину и посмотреть, как меняется значение функции в пропорции к этой маленькой величине. Чтобы играть в подобные игры на следующем уровне, с операторами, следует определить, что означает близость между двумя функциями. Сделать это можно множеством способов. Можно посмотреть на разность их значений в любой заданной точке и сделать так, чтобы эта разность была маленькой (во всех точках). Можно сделать интеграл этой разницы маленьким. Каждый вариант ведет нас к иному «функциональному пространству», содержащему все функции с заданными свойствами и снабженному собственной «метрикой» или «нормой». Если вернуться к аналогии между числами и функциями, то функциональное пространство играет роль множества действительных или комплексных чисел, а оператор – это правило преобразования функции из одного функционального пространства в функцию из другого функционального пространства. Преобразование Фурье – особенно важный пример оператора, преобразующего функцию в последовательность коэффициентов Фурье. Обратное действие преобразует последовательности чисел в функции.
С этой точки зрения большие фрагменты классического анализа внезапно становятся частью единой картины как
