Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт

отказались публиковать. Объявленный конкурс вдохновил Фурье на разработку собственного дифференциального уравнения в частных производных для теплопередачи, и это уравнение принесло ему победу. Его «уравнение теплопроводности» утверждает, в математической форме, что теплота в заданном месте изменяется во времени, проникая в соседние области пространства и рассеиваясь в них, как растекается потихоньку капля чернил по промокательной бумаге.

Проблемы начались, когда Фурье попытался решить свое уравнение, начиная с очень простого случая: распространения теплоты по металлическому стержню. Он заметил, что у этого уравнения имеется простое решение, если начальное распределение теплоты выглядит как кривая синуса или косинуса в тригонометрии. Затем он заметил, что, в принципе, можно разобраться и с более сложными вариантами начального распределения, если соединить множество отдельных синусоид и косинусоид. Он даже нашел формулу из дифференциального исчисления, точно описывающую вклад каждого слагаемого: нужно умножить формулу для начального распределения на соответствующий синус или косинус и проинтегрировать результат. Это привело к дерзкому заявлению: его формула, которая в настоящее время называется рядом Фурье, решает задачу совершенно для любого начального распределения теплоты. В частности, утверждал он, формула работает для распределений с разрывами, таких как прямоугольная ступень: полстержня имеет одну постоянную температуру, полстержня – другую.

Это заявление сразу же окунуло Фурье с головой в спор, который шел уже несколько десятилетий. Тот же вопрос – мало того, с той же интегральной формулой – уже всплывал в исследованиях Эйлера и Бернулли, посвященных уравнению волнового движения. Там обычно в качестве любимого примера выступала идеальная скрипичная струна – и понятно, что нельзя заставить струну звучать, нарушив ее непрерывность: она просто порвется. Поэтому физическая интуиция подсказывает, что с представлением функций с разрывами могут возникнуть проблемы, а математическая интуиция усиливает сомнения, заставляя тревожиться о том, сходится ли тригонометрический ряд. То есть имеет ли смысл сумма бесконечного числа синусоидальных кривых, а если имеет, то сойдется ли она в конечном итоге к прямоугольной волне с разрывом или, может быть, к чему-то другому.

Как получить прямоугольный график из синусов и косинусов. Слева: компоненты – синусоидальные волны. Справа: сумма первых пяти членов ряда Фурье аппроксимирует прямоугольный уступ. Дополнительные члены (не показаны) улучшают качество аппроксимации

Не желая никого обижать, замечу, что часть проблемы заключалась в том, что Фурье думал как физик, а его критики – как математики. Физически прямоугольный импульс имеет смысл как модель теплоты. Металлический стержень рассматривается как отрезок идеальной прямой – именно так, кстати говоря, Эйлер и Бернулли рассматривали скрипичную струну. Если теплота распределена равномерно по половине этого отрезка, а вторая половина намного холоднее и перепад между ними резок, то естественной моделью для такого распределения становится прямоугольная ступенька.

Ни одна модель не может быть абсолютно точным представлением реальности, но механика в те дни всегда работала с идеализированными объектами, такими как точечные массы, идеально упругие столкновения, бесконечно тонкие идеально жесткие стержни и т. д. Прямоугольная волна едва ли оказалась бы лишней в такой компании. Более того, математически решение Фурье предсказывает, что нарушение непрерывности сразу же сглаживается диффузией и превращается в резко изгибающуюся, но непрерывную кривую, которая постепенно уплощается, что разумно с физической точки зрения и устраняет математический разрыв. К несчастью, подобные аргументы были слишком неопределенными, чтобы убедить математиков – ведь те знали, что бесконечные ряды часто ставят тонкие и сложные вопросы. Представители Академии пришли к компромиссу: Фурье получил приз, но его работа так и не была опубликована.

Неунывающий Фурье опубликовал эту работу в 1822 году в виде книги «Аналитическая теория теплоты». Затем, чтобы всех подразнить, он умудрился получить должность секретаря Академии и сразу же напечатал свою оригинальную выигравшую приз статью в журнале Академии. Ловко?

Потребовалось около 100 лет, чтобы окончательно разрешить математические вопросы, поднятые заявлениями Фурье. Говоря в целом, он был во многом прав, но ошибался в нескольких принципиальных вопросах. Его метод в самом деле работал для прямоугольного импульса, плюс-минус кое-какие поправки в отношении того, что происходит непосредственно в точке разрыва. Но метод определенно не работал для более сложных начальных распределений. Полное понимание ситуации пришло лишь после того, как математики разработали более общее понятие интеграла, наряду с топологическими понятиями, которые лучше всего формулируются в контексте теории множеств.

Задолго до того, как математическое сообщество разобралось наконец с тем, на что замахнулся Фурье, инженеры ухватились за его базовую идею и, по существу, присвоили ее и начали активно использовать. Они поняли, что сутью его работы было то, что ныне называют преобразованием Фурье, при котором сложный сигнал, изменяющийся во времени, может быть интерпретирован как комбинация простых сигналов с различными частотами. Формула интеграла Фурье подсказывает, как перенести точку наблюдения из временно́й области в частотную и обратно – при этом используется почти та же самая формула, что устанавливает «дуализм» между двумя представлениями.

Этот дуализм означает, что преобразование обратимо, то есть можно восстановить первоначальный сигнал по частотам, которые он создает. Это как перевернуть монету с орла на решку, а затем обратно. Полезность этой процедуры для инженерного дела состоит в том, что некоторые свойства, которые трудно обнаружить во временно́й области, становятся очевидными в частотной области. Это может работать и в обратную сторону, так что мы получаем два очень разных метода анализа одних и тех же данных, и каждый из них естественным образом выявляет именно те черты, которые упускает второй.

Например, реакция высотного здания на землетрясение во временной области кажется случайной и хаотичной. Однако в частотной области можно увидеть несколько больших пиков на определенных частотах. Эти пики позволяют выявить резонансные частоты, которые вызывают особенно сильную реакцию здания. Чтобы здание не рухнуло при землетрясении, необходимо подавить эти частоты. На практике здание ставят на массивное бетонное основание, имеющее возможность двигаться из стороны в сторону. Затем это боковое движение «гасится» гигантскими грузами или пружинами.

Еще одно применение преобразования Фурье восходит к открытию структуры ДНК Фрэнсисом Криком и Джеймсом Уотсоном. Ключевым свидетельством, подтвердившим их правоту, тогда стала фотография дифракции рентгеновских лучей на кристалле ДНК. Для получения такого снимка пучок рентгеновских лучей пропускают сквозь кристалл, который заставляет их отклоняться и отражаться, – такое поведение и называют дифракцией. Волны, как правило, собираются в группы под определенными углами, согласно закону дифракции Лоуренса и Уильяма Брэгга, и на снимке появляется сложная геометрическая композиция из множества точек. Дифракционная картина представляет собой, по существу, своего рода преобразование Фурье позиций атомов в молекуле ДНК. Применив обратное преобразование (сложный расчет, реализовать который сегодня намного проще, чем тогда), можно получить форму молекулы. Как я уже сказал, преобразование иногда делает