Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт

Именно здесь в дело вступает догадка Лена. Математики придумали немало хитроумных методов «восстановления» аттрактора по измерениям одной-единственной переменной. Простейший из них – метод Паккарда – Такенса, или метод скользящего окна, разработанный Норманом Паккардом и Флорисом Такенсом. Этот метод вводит новые несуществующие переменные на основе измерений одной и той же переменной в разные моменты времени. Так что вместо оригинальных трех переменных, измеряемых синхронно, мы смотрим всего на одну переменную в окне длиной в три шага по времени. Затем мы сдвигаем окно вдоль оси времени на один шаг и повторяем эту операцию много раз. Правый рисунок показывает, как это работает для аттрактора Лоренца. Фигура на нем не совпадает с фигурой на левом рисунке, но, если вы не испортили дело, очень неудачно выбрав шаг по времени, то оба рисунка имеют одинаковую топологию: восстановленный аттрактор представляет собой непрерывно искаженный вариант реального. Здесь оба рисунка похожи на маски с двумя дырками для глаз, но один из них является перекрученной версией другого.

Этот метод дает качественную картину аттрактора, по которой можно судить, какого рода хаос нам ожидать. Так что Лен, задавшись вопросом о том, не сработает ли такой же прием с данными по пружинам, построил двумерный график, рассматривая последовательные промежутки между витками как временной ряд и применяя метод скользящего окна. Однако он получил не четкую геометрическую фигуру, похожую на маску, а всего лишь размытое облако точек. Это указывало на то, что последовательность промежутков, возможно, не является хаотической в формальном смысле, который используют математики.

Так что же, метод оказался бесполезным?

Вовсе нет.

Внимание Лена привлекла общая форма размытого облака. Образцы проволоки были тщательно проверены на навивочной машине, поэтому он заранее знал, какие из них годные, какие негодные, а какие так себе. Могло ли восстановленное облако точек сказать, что есть что? Судя по всему, да. Когда проволока была по-настоящему хорошей, легко навивалась и давала очень качественные пружины, облако получалось маленькое и приблизительно круглое. Когда проволока имела приемлемое качество и навивалась достаточно легко, но пружины давала с более значительным разбросом размеров, облако получалось крупнее, но по-прежнему приблизительно круглое. В случае некачественной проволоки, из которой невозможно было сделать пружину, облако получалось вытянутым, длинным и тонким, как сигара.

Если такая закономерность справедлива и для остальных образцов, то можно отказаться от требующих времени и дорогих испытаний на пружинонавивочной машине и судить о годности проволоки по форме и размеру размытого облака. Это решило бы практическую задачу поиска дешевого и эффективного теста для определения свиваемости. На самом деле неважно, является ли такой параметр, как промежутки между витками, случайным, хаотичным или в какой-то мере тем и другим. Не обязательно точно знать, как меняются свойства материала по длине проволоки или даже что это за свойства. Совершенно не обязательно проводить очень сложные расчеты упругости и подтверждать их не менее сложными экспериментами, чтобы понять, как изменчивость свойств влияет на свиваемость. Знать нужно лишь то, как различаются графики скользящего окна для годной и негодной проволоки, а это можно определить испытаниями на большом количестве образцов проволоки и сравнением с тем, как они ведут себя на пружинонавивочной машине.

Теперь стало ясно, почему такие стандартные статистические характеристики данных, как средняя величина и дисперсия (разброс), бесполезны. Они не учитывают порядок получения данных: как каждое следующее расстояние соотносится с предыдущим. Если перемешать числа, их среднее значение и дисперсия не изменятся, но форма облака точек может измениться кардинально. Здесь, скорее всего, и кроется ключ к производству качественных пружин.

Чтобы проверить эту догадку, мы построили машину контроля качества FRACMAT, которая наматывала тестовую пружинку на круглый металлический стержень, сканировала ее при помощи лазерного микрометра, чтобы измерить последовательные промежутки, передавала эти данные в компьютер, применяла к ним метод скользящего окна для восстановления аттрактора, получала облако точек, оценивала описывающий его эллипс, проверяя, какой он формы – округлый или сигарообразный – и велик ли он, и устанавливала, годным или негодным является образец. Это было практическое применение теории хаоса и метода восстановления аттрактора к задаче, которая формально даже не была хаотической. В полном соответствии с целью финансирования от Министерства торговли и промышленности, которое предназначалось не для исследований, а для распространения технологических достижений, мы перенесли метод восстановления аттрактора из математики хаотической динамики на временной ряд наблюдений вовсе не хаотической, а вполне реальной системы. Собственно, мы с самого начала говорили им, что собираемся сделать именно это.

* * *

Хаос – это не просто красивое слово для обозначения случайности. В краткосрочной перспективе хаос предсказуем. Если вы бросите игральную кость, то текущий бросок ничего не скажет о том, что произойдет дальше. Что бы ни выпало сейчас, любое из имеющихся на гранях чисел – 1, 2, 3, 4, 5, 6 – может выпасть в следующий раз с равной вероятностью. Если, конечно, эта игральная кость честная, а не налита, скажем, свинцом с одной стороны. Хаос не таков. Если бы с игральной костью ассоциировался хаос, в выпадениях были бы закономерности. Возможно, после 1 выпадали бы только 2 или 5, а после 2 – только 4 или 6 и т. д. Следующий результат был бы до некоторой степени предсказуем, но результат пятого или шестого броска после текущего мог бы уже быть любым. Чем дальше будущее, о котором вы хотите знать, тем более неопределенными становятся предсказания.

Второй проект, DYNACON, вырос из первого, когда мы поняли, что можно использовать краткосрочную предсказуемость хаоса для управления пружинонавивочной машиной. Если бы удалось каким-то образом измерять длины пружин по мере их изготовления и выявлять тенденции в полученных данных, говорящие о том, что машина действительно работает хаотически, то можно было бы заметить ухудшение качества пружин и подстроить машину так, чтобы компенсировать его. Производители к тому моменту уже нашли способы измерения длины пружины при ее изготовлении, чтобы отбраковывать изделия с отклонениями в размерах, но мы хотели большего. Не просто отсортировывать некачественные пружины при изготовлении, а вообще предотвратить их появление. Не полностью, но в достаточной мере, чтобы избежать значительных потерь проволоки.

Математика в основном имеет дело с точными расчетами. Некое число равно (или не равно) двум. Это число принадлежит (или не принадлежит) множеству простых чисел. Однако реальный мир зачастую не столь однозначен. Результат измерения может быть близок к 2, но не равен двум в точности; более того, если измерить ту же величину снова, результат может слегка отличаться от первого. Хотя число не может быть «почти простым», оно определенно может быть «почти