Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни - Йэн Стюарт
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
В этой главе я приоткрою завесу тайны над тремя проектами, в которых мне довелось принимать участие. Их нельзя назвать особенно значимыми, просто я знаю, что в них было задействовано. Основные идеи были опубликованы в отраслевых журналах и являются общедоступными. Моя цель – показать, что использование математики в промышленности зачастую незаметно, но результаты его иногда приносят приятные неожиданности.
Как тот телефонный звонок Лена.
* * *
Проблема, которая четверть века ставила в тупик производителей пружин и проволоки, была простой и фундаментальной. Для пружин (продукт производителей пружин) нужна проволока (продукт производителей проволоки), которую пропускают через пружинонавивочные машины. По большей части проволока ведет себя как полагается, и пружины из нее получаются нужного размера и упругости. Но время от времени партия проволоки отказывается правильно навиваться даже в руках высококвалифицированного мастера. Обычные методы контроля качества начала 1990-х годов не могли отличить хорошую проволоку от плохой. Та и другая проходили одинаковые тесты на химический состав, прочность при растяжении и т. п. Визуально негодная проволока не отличалась от годной. Но когда годную проволоку запускали в пружинонавивочную машину, на выходе получались пружины с нужными характеристиками. Из негодной проволоки на выходе получалось либо что-то похожее на пружину, но неправильного размера, либо, в худшем случае, просто безнадежно спутанная проволока.
Попытка сделать из проволоки пружину не могла считаться практичным и эффективным способом проверки. Проволока, оказавшаяся негодной, занимала дорогостоящую пружинонавивочную машину на пару дней, прежде чем оператор убеждался в том, что из нее пружин не получится. К несчастью, поскольку эта проволока прошла обычные тесты, производитель всегда мог утверждать, что с проволокой все в порядке, а дело, похоже, в неправильной настройке пружинонавивочной машины. Обе отрасли сетовали на возникшее в результате безвыходное положение, обеим был нужен надежный способ определения правых и виноватых, – и обе жаждали доказательств, что виноваты не они. Добрая воля присутствовала, но необходим был объективный тест.
Когда мы начинали проект, то для начала показали математикам реальное производство пружин, чтобы они поняли, как проволока превращается в пружины. Все дело в геометрии.
Наиболее распространены пружины сжатия. Нажмите на их концы и почувствуйте, как они сопротивляются. Простейшая конструкция – спираль, похожая на винтовую лестницу. Представьте себе точку, бегающую вдоль окружности с постоянной скоростью, и начните равномерно смещать ее в направлении, перпендикулярном окружности. Кривая, которую будет описывать в пространстве эта точка, и есть спираль. Из практических соображений витки спиральных пружин на концах часто сближают, как если бы движущаяся точка сначала обежала несколько раз окружность на плоскости, потом двинулась под прямым углом к ней, а в конце вновь перестала двигаться в этом направлении и сделала пару последних витков в одной плоскости. Это помогает пружине не цепляться за все подряд – и защищает людей, помогая им не оказаться тем объектом, за который зацепится конец пружины.
Математически спираль характеризуется двумя параметрами – кривизной и кручением. Кривизна – мера того, насколько резко или плавно она изгибается. Кручение – мера того, насколько сильно спираль уходит от плоскости, определяемой направлением, в котором она изгибается. (Очевидно, существует формальное определение этих понятий, но я предлагаю не углубляться в дифференциальную геометрию пространственных кривых.) Для спирали оба эти параметра постоянны. Поэтому, когда вы смотрите на спираль сбоку, ее витки распределены равномерно и наклонены под одинаковым углом – это объясняется постоянной скоростью движения вдоль оси спирали. Когда вы смотрите в торец, все витки сливаются воедино и образуют окружность: здесь причина в равномерном движении по окружности. Маленькая окружность соответствует высокой кривизне, большая – низкой; круто восходящая спираль соответствует большому кручению, медленно восходящая – малому.
Пружинонавивочная машина воплощает эти характеристики механически, удивительно простым образом. В машину проволока поступает с большой неплотно намотанной катушки, называемой барабаном, через небольшое приспособление, представляющее собой просто жесткий кусок металла. Это приспособление одновременно изгибает проволоку в одном направлении и прикладывает небольшое усилие в направлении, перпендикулярном первому. Изгибание порождает кривизну, а усилие придает кручение. По мере того как проволока поступает, машина наматывает витки спирали один за другим. Когда спираль становится достаточно длинной, другое приспособление обрезает проволоку, и начинается формирование следующей пружины. Дополнительные устройства уменьшают кручение до нуля на концах спирали, чтобы сделать крайние витки плоскими и сблизить их. Процесс идет быстро – машина изготавливает по несколько пружин в секунду. Один производитель делал крохотные пружинки из специальной проволоки со скоростью 18 штук в секунду на каждой машине.
Компании, производящие пружины и проволоку, обычно относительно невелики и относятся к категории малых и средних предприятий. Они находятся между очень крупными поставщиками, такими как British Steel, и очень крупными потребителями, такими как автопроизводители или производители матрацев, так что их рентабельность сильно поджимается с обеих сторон. Чтобы выжить, они должны оставаться эффективными. Ни одна компания такого рода не может содержать собственный исследовательский отдел, поэтому Ассоциация исследователей и производителей пружин (SRAMA), переименованная с тех пор в Институт пружинных технологий (IST), представляет собой своего рода совместную исследовательско-конструкторскую организацию, финансируемую входящими в нее компаниями. Лен и его коллеги из SRAMA на тот момент уже добились некоторого успеха в решении проблемы навивки, устраняя то, что идет не так. Кривизна и кручение наматываемой пружины зависят от свойств проволоки, например пластичности, определяющей, насколько легко или, наоборот, трудно проволоку согнуть. Если при намотке образуется отличная правильная спираль, это значит, что свойства одинаковы по всей длине проволоки. Если правильной спирали не получается, свойства не одинаковы. Поэтому представлялось весьма вероятным, что плохая свиваемость возникает из-за беспорядочных изменений свойств материала по длине проволоки. Поэтому вопрос стоял так: как обнаружить нестабильность свойств?
С этой целью проволоку наматывали на круглый металлический стержень, примерно как спагетти наматывают на вилку, а затем измеряли расстояние между последовательными витками. Если все они примерно одинаковы – проволока годится. Если витки ложатся вкривь и вкось – проволока не годится. Правда, иногда расстояние между витками может варьировать довольно сильно, но проволока все равно годится на пружины. Может быть, они будут не настолько хороши, как в случае по-настоящему качественной проволоки, но все же пригодны для некоторых применений. Так что суть проблемы на тот момент заключалась в следующем: как количественно –
