Геометрия скорби. Размышления о математике, об утрате близких и о жизни - Майкл Фрейм

Я предположил, что геометры просто не смогли найти правильный метод. «Нет, – сказал мистер Гриффит, – просто есть такие задачи, которые не имеют решения, и мы можем это доказать». Что? У какой задачи нет решения? Но, что еще поразительнее, как мы можем знать, что у этой задачи нет решения? Никакого. Три года я не мог принять тот головокружительный факт, что существует доказательство неразрешимости некоторых теорем[32]. Лишь через много лет я всё же понял, почему упомянутые геометрические построения невозможны[33]. Для доказательства требуется очень сложная математика – неудивительно, что древние греки до него не додумались.

Но в школе я этого еще не знал. А вот о том, что в физическом мире есть невозможные вещи, я знал с пеленок. Я не могу взмахнуть руками и полететь на луну. Да и менее глупые вещи мне порой недоступны: я неуклюжий, напрочь лишен ловкости или хотя бы умелости. Но геометрия… то, что в ней есть нечто невозможное, ставило меня в тупик. Как может быть так, чтобы геометрическая задача не решалась при должном усердии? Если это правда, значит, с нашей вселенной что-то явно не в порядке.

Я спросил мистера Гриффита, как вообще доказать невозможность какой-либо математической конструкции. Он не стал объяснять мне доказательство трисекции угла. Вместо этого учитель рассказал, что квадратный корень из двух нельзя записать в виде соотношения целых чисел (еще один вывод, потрясший основы греческой геометрии). Само доказательство простое, ясное и изящное. (Оно включает в себя немного алгебры; вы найдете его в приложении.) Я был несказанно счастлив, когда мистер Гриффит любезно мне всё объяснил шаг за шагом.

В тот вечер, раздумывая над этим изящным решением, я понял, что у геометрии тоже есть границы. Я расстроился минут на десять. А затем осознал, что эти границы делают геометрию еще интереснее. Насколько именно интереснее, я не представлял себе еще многие годы и до сих пор не до конца понимаю. Оказывается, то, что я считал схематическим изображением целого мира, описывало лишь его крохотный уголок.

На следующий день по дороге в школу я прокручивал в голове этапы доказательства. Все части по-прежнему прекрасно сочетались друг с другом, но первый восторг узнавания куда-то исчез – тот самый, который некоторые называют моментом озарения. Миг, когда наблюдения или идеи сами по себе вдруг складываются в новую картину, кристально очевидную, но невидимую ранее. Эта новая идейная конструкция остается с вами навсегда, а момент озарения – нет. Для каждой идеи может быть лишь один момент озарения.

Когда я преподавал фрактальную геометрию, вторая лекция содержала самый мощный момент озарения за весь семестр. Суть озарения заключалась в серии картинок, показывающих, как силуэт кота превращается в треугольник Серпинского[34]. Несколько недель спустя, когда мы изучали другие темы, порой весьма сложные, студенты жаловались на то, что им хотелось бы видеть побольше сюрпризов наподобие того, что я показал на второй лекции.

С другой стороны, вернуться к прежней модели устройства мира, игнорируя новую (фракталы), бывает весьма затруднительно. Мне сотни раз приходилось слышать сетования вроде: «Жаль, что я больше не смогу, глядя на деревья, просто любоваться их красотой. Теперь я невольно ищу трансформации, в результате которых возникает форма дерева». Как хорошо, говорят эти студенты, что Джон Мьюр[35] (или Рейчел Карсон[36], или Эдвард Эбби[37]) не знали о фракталах. После столь сильного удара по сознанию вы какое-то время будете неспособны забыть эту новую идею.

Мартин Гарднер[38], который практически каждый месяц с января 1957-го по июнь 1986 года вел колонку «Математические игры» в журнале «Сайентифик америкэн», составил сборник математических задач под названием «Есть идея!»[39]. Его задачи остроумные, требующие нестандартных решений и занимательные – для тех, кто любит математические головоломки. Но эти крохотные озарения не вносят необратимых изменений в наше видение мира.

Или всё же вносят? Возможно, они не меняют представления о мире в целом, зато позволяют нашему воображению избавиться от очевидных, но слишком громоздких подходов к решению проблем. На этот счет я приведу в пример так называемую задачу о шмеле.

Представьте: с востока на запад проложена совершенно прямая железная дорога длиной 50 миль. С ее западного конца на восток отправится локомотив, который будет ехать со скоростью 30 миль в час; с восточного конца ему навстречу поедет локомотив со скоростью 20 миль в час. Оба локомотива отправляются ровно в полдень. Также ровно в полдень с передней части локомотива, движущегося на восток, слетает шмель и летит вдоль железной дороги со скоростью 70 миль в час. Долетев до локомотива, идущего на запад, он разворачивается и летит в западном направлении, пока не встретится с локомотивом, идущим на восток, затем снова разворачивается, летит на восток, встречается с локомотивом, идущим на запад, и так далее (см. рисунок на следующей странице). Оба локомотива движутся без остановок. Вопрос: какое расстояние пролетит шмель, прежде чем локомотивы столкнутся и раздавят его?

С задачей о шмеле я познакомился, когда учился в седьмом классе. В тот год к нам приехали два инженера из НАСА. Полагаю, они искали учеников, склонных к науке и математике. Во время обеденного перерыва ко мне подошел учитель естествознания и попросил побеседовать с этими инженерами перед их дневной презентацией. Один из них рассказал мне условие задачи о шмеле и спросил, могу ли я ее решить.

Ладно, когда шмель летит навстречу локомотиву, идущему на запад, относительная скорость шмеля и локомотива составляет 70 + 20 = 90 миль в час. Им обоим предстоит проделать расстояние в 50 миль, то есть шмель встретится с локомотивом, идущим на запад, через 50/90 часов, то есть через 331/3 минуты. Я знаю скорость шмеля и время полета, значит, могу найти расстояние, которое он пролетел: расстояние = скорость × время.

Кроме того, я могу вычислить, какое расстояние проехал каждый из локомотивов за это время. Сложив эти расстояния, я могу вычесть эту сумму из изначальных 50 миль и получить расстояние, проделанное шмелем и локомотивом, идущим на запад, до того как они встретятся. Я уже был знаком с бесконечной геометрической прогрессией, когда складываются фиксированные кратные предыдущего числа. Например, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … – это бесконечная геометрическая прогрессия, где фиксированное кратное равно 1/2. Если удастся увидеть закономерность и найти это фиксированное кратное, то благодаря несложной формуле можно получить сумму. Однако в задаче о шмеле найти фиксированное кратное совсем не просто. Будь